第11讲 对数函数（9大考点）-2022-2023学年高一数学考试满分全攻略（沪教版2020必修第一册）

第11讲 对数函数（9大考点） ( 考点 考向 ) 一．对数函数的定义 【知识点归纳】一般地，如果a（a＞0，且a≠1）的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．即ab＝N，logaN＝b． 底数则要大于0且不为1． 二．对数函数的定义域 【知识点归纳】一般地，我们把函数y＝logax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R． 三．对数函数的值域与最值 【知识点归纳】一般地，我们把函数y＝logax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R． 定点：函数图象恒过定点（1，0） 四．对数值大小的比较 【知识点归纳】 1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数的单调性来比较． 2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量（1，﹣1，0）进行比较 3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利用函数图象或利用换底公式化为同底的再进行比较．（画图的方法：在第一象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增大） 五．对数函数的图象与性质 【知识点归纳】 六．对数函数的单调性与特殊点 【知识点归纳】对数函数的单调性和特殊点： 1、对数函数的单调性 当a＞1时，y＝logax在（0，+∞）上为增函数 当0＜a＜1时，y＝logax在（0，+∞）上为减函数 2、特殊点 对数函数恒过点（1，0） 七．指数函数与对数函数的关系 【知识点归纳】指数函数和对数函数的关系： （1）对数函数与指数函数互为反函数，它们的定义域、值域互换，图象关于直线y＝x对称． （2）它们都是单调函数，都不具有奇偶性．当a＞l时，它们是增函数；当O＜a＜l时，它们是减函数． （3）指数函数与对数函数的联系与区别： 八．反函数 【知识点归纳】 【定义】一般地，设函数y＝f（x）（x∈A）的值域是C，根据这个函数中x，y 的关系，用y把x表示出，得到x＝g（y）．若对于y在中的任何一个值，通过x＝g（y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x＝g（y）就表示y是自变量，x是因变量是y的函数，这样的函数y＝g（x）（y∈C）叫做函数y＝f（x）（x∈A）的反函数，记作y＝f（﹣1）（x） 反函数y＝f（﹣1）（x）的定义域、值域分别是函数y＝f（x）的值域、定义域． 【性质】反函数其实就是y＝f（x）中，x和y互换了角色 （1）函数f（x）与他的反函数f﹣1（x）图象关于直线y＝x对称；函数及其反函数的图形关于直线y＝x对称 （2）函数存在反函数的重要条件是，函数的定义域与值域是一一映射； （3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致； （4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y＝f（x），定义域是{0} 且 f（x）＝C （其中C是常数），则函数f（x）是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）．奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数．若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数． （5）一切隐函数具有反函数； （6）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性； （7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】； （8）反函数是相互的且具有唯一性； （9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）； （10）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）（在有反函数的情况下，即满足（2））． 九．对数函数图象与性质的综合应用 【知识点归纳】 1、对数函数的图象与性质： a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 （0，+∞） 值域 R 定点 过点（1，0） 单调性 在（0，+∞）上是增函数 在（0，+∞）上是减函数 函数值正负 当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1，y＜0 当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞0 2、由对数函数的图象确定参数的方法 已知对数型函数的图象研究其解析式及解析式中所含参数的取值范围问题，通常是观察图象，获得函数的单调性、对称性、奇偶性、经过的特殊点等，由此确定函数解析式以及其中所含参数的取值范围． 【解题方法点拨】 1、4种方法﹣﹣解决对数运算问题的方法 （1）将真数化为底数（或已知对数的数）的幂的积，再展开； （2）将同底对数的和、差、倍合并； （3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用； （4）利用常用对数中的lg 2+lg 5＝1． 2、3个基本点﹣﹣对数函数图象的三个基本点 （1）当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”． （2）对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点（a，1），