第09讲 幂函数（4大考点）-2022-2023学年高一数学考试满分全攻略（沪教版2020必修第一册）

第09讲 幂函数（4大考点） ( 考点 考向 ) 1．幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【知识点归纳】 幂函数的定义：一般地，函数y＝xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数． 解析式：y＝xa＝ 定义域：当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下： 1．如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数； 2．如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数． 当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下： 1．在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数． 2．在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数． 而只有a为正数，0才进入函数的值域． 由于x大于0是对a的任意取值都有意义的． 2．幂函数的图象 【知识点归纳】 3．幂函数的性质 【知识点归纳】 所有的幂函数在（0，+∞）上都有各自的定义，并且图象都过点（1，1）． （1）当a＞0时，幂函数y＝xa有下列性质： a、图象都通过点（1，1）（0，0）； b、在第一象限内，函数值随x的增大而增大； c、在第一象限内，a＞1时，图象开口向上；0＜a＜1时，图象开口向右； d、函数的图象通过原点，并且在区间[0，+∞）上是增函数． （2）当a＜0时，幂函数y＝xa有下列性质： a、图象都通过点（1，1）； b、在第一象限内，函数值随x的增大而减小，图象开口向上； c、在第一象限内，当x从右趋于原点时，图象在y轴上方趋向于原点时，图象在y轴右方无限逼近y轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴． （3）当a＝0时，幂函数y＝xa有下列性质： a、y＝x0是直线y＝1去掉一点（0，1），它的图象不是直线． 4．幂函数的单调性、奇偶性及其应用 【知识点归纳】 一、幂函数定义： 一般地，函数y＝xa（a∈R）叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数． （1）指数是常数； （2）底数是自变量； （3）函数式前的系数都是1； （4）形式都是y＝xa，其中a是常数． 二、幂函数与指数函数的对比 式子 名称 a x y 指数函数：y＝ax 底数 指数 幂值 幂函数：y＝xa 指数 底数 幂值 三、五个常用幂函数的图象和性质 （1）y＝x； （2）y＝x2； （3）y＝x3； （4）y＝； （5）y＝x﹣1 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x﹣1 定义域 R R R [0，+∞） {x|x≠0} 值域 R [0，+∞） R [0，+∞） {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 x∈[0，+∞）时，增 x∈（﹣∞，0]时，减 增 增 x∈（0，+∞）时，减 x∈（﹣∞，0）时，减 公共点 （1，1）（0，0） （1，1）（0，0） （1，1）（0，0） （1，1）（0，0） （1，1） 四、幂函数的性质 （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且函数图象都通过点（1，1）． （2）如果a＞0，则幂函数的图象过点（0，0），（1，1），并在[0，+∞）上为增函数． （3）如果a＜0，则幂函数的图象过点（1，1），并在（0，+∞）上为减函数． （4）当a为奇数时，幂函数为奇函数，当a为偶数时，幂函数为偶函数． ( 考点 精讲 ) 一．幂函数的概念、解析式、定义域、值域（共5小题） 1．（2021秋•长宁区期末）幂函数y＝x﹣2的图像在第 　一和二　象限． 【分析】根据y＝x﹣2＝＞0，即可求解结论． 【解答】解：∵幂函数y＝x﹣2＝＞0， 故幂函数y＝x﹣2的图像在第一和第二象限， 故答案为：一和二． 【点评】本题考查了幂函数的性质，属于基础题． 2．（2021秋•闵行区期末）若幂函数y＝xa的图像经过点，则此幂函数的表达式为y＝　x　． 【分析】将点的坐标代入，解得参数，从而求得其解析式． 【解答】解：∵幂函数的图象经过点（3，）， ∴＝3α， ∴α＝ ∴y＝x， 故答案为：y＝x． 【点评】本题主要考查求幂函数的解析式问题，其实质是点在曲线上，则点的坐标适合曲线的方程，应用的是方程思想． 3．（2021秋•浦东新区期末）已知幂函数y＝f（x）的图像过点，则f（3）＝　　． 【分析】幂函数y＝f（x）＝xα的图像过点（2，），列方程求出α＝，从而f（x）＝，由此能求出f（3）． 【解答】解：设幂函数f（x）＝xα， ∵幂函数y＝f（x）＝xα的图像过点（2，）， ∴f（2）＝2α＝，解得α＝， ∴f（x）＝， 则f（3）＝， 故答案为：． 【点评】本题考查函数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题