第13讲线面垂直、面面垂直的判定与性质综合运用辅导讲义-2021-2022学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第13讲　线面垂直、面面垂直的判定与性质综合运用 一、教学目标 掌握线面垂直、面面垂直的判定与性质的综合应用． 二、知识点梳理 一、直线与平面垂直 判定 性质 图形 条件 a⊥b，b⊂α(b为α内的任意直线) a⊥m，a⊥n， m、n⊂α m∩n＝O a∥b a⊥α a⊥α b⊂α a⊥α b⊥α 结论 a⊥α a⊥α b⊥α a⊥b a∥b 几个常用的结论： (1)过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直； (2)过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直； (3)垂直于同一直线的两个平面互相平行． 二、两个平面垂直 1、平面与平面垂直的定义 如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． 2、平面与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线那么这两个平面互相垂直 ⇒α⊥β 3、平面与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 ⇒l⊥α 三、线面角与二面角 1、直线和平面所成的角 (1)平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角． (2)当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为90°和0°． 2、二面角的有关概念 (1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． (2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角． 三、典型例题讲解 【例1】在所有棱长都相等的斜三棱柱ABC—DEF中，已知BF⊥AE，BF∩CE＝O， 且AB＝AE. (1)求证：AO⊥平面FEBC； (2)求证：四边形FEBC为正方形． 变式1.如图，已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点， 若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD. 【例2】如图，在四棱锥P­ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB， 平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点． 求证：(1)PA⊥底面ABCD； (2)BE∥平面PAD；