专题01 角平分线四大模型在三角形中的应用（能力提升）-备战2023年中考数学《重难点解读•专项训练》（全国通用）

专题01 角平分线四大模型在三角形中的应用（能力提升） 1．如图：在四边形ABCD中，BC＞DA，AD＝DC，BD平分∠ABC，DH⊥BC于H，求证： （1）∠DAB+∠C＝180° （2）BH＝（AB+BC） 【解答】证明：（1）过D作DE⊥AB，交BA延长线于E，如图所示： ∵BD平分∠ABC，DH⊥BC， ∴DH＝DE， 在Rt△ADE和Rt△CDH中，， ∴Rt△ADE≌Rt△CDH（HL）， ∴∠C＝∠DAE， ∵∠DAB+∠DAE＝180°， ∴∠DAB+∠C＝180°； （2）在Rt△BDE和Rt△BDH中，， ∴Rt△BDE≌Rt△BDH（HL）， ∴BE＝BH， ∵Rt△ADE≌Rt△CDH， ∴AE＝CH， ∴AB+BC＝AB+BH+CH＝BE+BH＝2BH， ∴BH＝（AB+BC）． 2．如图，AD∥BC，∠D＝90°，∠CPB＝30°，∠DAB的角平分线与∠CBA的角平分线相交于点P，且D，P，C在同一条直线上． （1）求∠PAD的度数； （2）求证：P是线段CD的中点． 【解答】（1）解：∵AD∥BC， ∴∠C＝180°﹣∠D＝180°﹣90°＝90°， ∵∠CPB＝30°， ∴∠PBC＝90°﹣∠B＝60°， ∵PB平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠PBC＝120°， ∵AD∥BC， ∴∠DAB+∠ABC＝180°， ∴∠DAB＝180°﹣120°＝60°， ∵AP平分∠DAB， ∴∠PAD＝∠DAB＝30°； （2）证明：过P点作PE⊥AB于E点，如图， ∵AP平分∠DAB，PD⊥AD，PE⊥AB， ∴PE＝PD， ∵BP平分∠ABC，PC⊥BC，PE⊥AB， ∴PE＝PC， ∴PD＝PC， ∴P是线段CD的中点． 3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点，AE平分∠BAD，AE⊥BE． （1）求证：BE平分∠ABC； （2）求证：AD+BC＝AB； （3）若S△ABE＝4，求梯形ABCD的面积． 【解答】（1）证明：延长AE交BC的延长线于M，如图所示： ∵AD∥BC， ∴∠M＝∠DAE， ∵AE平分∠BAD， ∴∠DAE＝∠BAE， ∴∠BAE＝∠M， ∴AB＝MB， ∵AE⊥BE， ∴∠ABE＝∠CBE， ∴BE平分∠ABC； （2）证明：∵AB＝MB，BE⊥AE， ∴AE＝ME， ∵E是CD的中点， ∴DE＝CE， 在△ADE和△MCE中，， ∴△ADE≌△MCE（SAS）， ∴AD＝MC， ∴AD+BC＝MC+BC＝MB＝AB； （3）解：∵AB＝MB，AE＝ME， ∴△MBE的面积＝△ABE的面积＝4， ∴△ABM的面积＝2×4＝8， ∵△ADE≌△MCE， ∴△ADE的面积＝△MCE的面积， ∴梯形ABCD的面积＝△ABM的面积＝8． 4．【问题提出】在△ABC中，∠ACB＝2∠B，AD为∠BAC的角平分线，探究线段AB，AC，CD的数量关系． 【问题解决】如图1，当∠ACB＝90°，过点D作DE⊥AB，垂足为E，易得AB＝AC+CD；由此，如图2，当∠ACB≠90°时，猜想线段AB，AC，CD有怎样的数量关系？给出证明． 【方法迁移】如图3，当∠ACB≠90°，AD为△ABC的外角平分线时，探究线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？直接写出结论，不证明． 【解答】解：【问题解决】：如图1中，当∠ACB＝90°时， ∵AD为∠BAC的角平分线，∠ACB＝90°，DE⊥AB， ∴DC＝DE， ∵∠ACB＝2∠B，∠ACB＝90°， ∴∠B＝45°， ∵DE⊥AB， ∴DE＝BE， 在△AED和△ACD中， ， ∴△AED≌△ACD（AAS）， ∴AE＝AC， ∴AB＝AE+BE＝AC+CD； 当∠ACB≠90°时，结论：AB＝CD+AC， 理由：如图2，在AB上截取AG＝AC，连接DG， ∵AD为∠BAC的平分线， ∴∠GAD＝∠CAD， 在△ADG和△ADC中， ， ∴△ADG≌△ADC（SAS）， ∴CD＝DG，∠AGD＝∠ACB， ∵∠ACB＝2∠B， ∴∠AGD＝2∠B， ∵∠AGD＝∠B+∠GDB， ∴∠B＝∠GDB， ∴BG＝DG＝DC ∴AB＝BG+AG＝CD+AC； 【方法迁移】结论：AB＝CD﹣AC， 理由：如图3．在AF上截取AH＝AC，连接DH， ∵AD为∠FAC的平分线， ∴∠HAD＝∠CAD， 在△ADH和△ACD中， ， ∴△ADH≌△ACD（SAS）， ∴CD＝HD，∠AHD＝∠ACD，即∠ACB＝∠FHD， ∵∠ACB＝2∠B， ∴∠FHD＝2∠B， ∵∠FHD＝∠B+∠HDB， ∴∠B＝∠HDB， ∴BH＝DH＝DC， ∴AB＝BH﹣AH＝CD﹣AC． 5．已知：如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D在BC上，点