专题01 角平分线四大模型在三角形中的应用（专项训练）-备战2023年中考数学《重难点解读•专项训练》（全国通用）

专题01 角平分线四大模型在三角形中的应用（专项训练） 1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BD＝4cm，CD＝2cm， （1）求D点到直线AB的距离． （2）求AC． 【解答】解：（1）作DE⊥AB于E， ∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB， ∴DE＝CD＝2cm； （2）在Rt△ADC和Rt△ADE中， ， ∴Rt△ADC≌Rt△ADE， ∴AC＝AE， ∵BD＝4cm，CD＝2cm， ∴BE＝2cm， 则AC2+62＝（AC+2）2， 解得，AC＝2cm． 2．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，∠BPC＝40°． （1）求∠BAC； （2）证明：点P到△ABC三边所在直线的距离相等； （3）求∠CAP． 【解答】解：（1）在△ABC中，∠ACD＝∠BAC+∠ABC， 在△PBC中，∠PCD＝∠BPC+∠PBC， ∵PB、PC分别是∠ABC和∠ACD的平分线， ∴∠PCD＝∠ACD，∠PBC＝∠ABC， ∴∠APC+∠PCB＝（∠BAC+∠ABC）＝∠BAC+∠ABC＝∠BAC+∠PCB， ∴∠PCD＝∠BAC， ∴∠BPC＝40°， ∴∠BAC＝2×40°＝80°， 即∠BAC＝80°； （2）作PE⊥BA于E，PF⊥AC于F，PG⊥BC于G， ∵CP是∠ACD的平分线，PF⊥AC，PG⊥BC， ∴PF＝PG， 同理，PE＝PF， ∴PE＝PF＝PG，即点P到△ABC三边所在直线的距离相等； （3）∵PE⊥BA，PF⊥AC，PE＝PF， ∴∠CAP＝∠CAE＝50°． 3．（1）如图①在△ABC，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝6cm，BD＝4cm，那么点D到AB的距离是　　cm （2）如图②，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AP平分∠BAC． 【解答】解：（1）如图①，作DE⊥AB于E， ∵BC＝6cm，BD＝4cm， ∴CD＝2cm， ∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB， ∴DE＝CD＝2cm，即点D到AB的距离是2cm， 故答案为：2； （2）证明：如图②，作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F， ∵∠1＝∠2，PD⊥AB，PE⊥BC， ∴PD＝PE， 同理，PF＝PE， ∴PD＝PF，又PD⊥AB，PF⊥AC， ∴AP平分∠BAC． 4．四边形ABCD中，DA＝DC，连接BD，∠ABD＝∠DBC． （1）如图1，求证：∠BAD+∠BCD＝180°； （2）如图2，连接AC，当∠DAC＝45°时，BC＝3AB，S△DBC＝27，求AB的长； （3）如图3，在（2）的条件下，把△ADC沿AC翻折，点D的对应点是点E，AE交BC于点K，F是线段BC上一点，连接EF，∠BFE＝45°，求△EFC的面积． 【解答】（1）证明：如图1，过点D作DM⊥BA交BA的延长线于M，DN⊥BC于N， 则∠DMA＝∠DNC＝90°， ∵∠ABD＝∠DBC，DM⊥BA，DN⊥BC， ∴DM＝DN， 在Rt△DMA和Rt△DNC中， ， ∴Rt△DMA≌Rt△DNC（HL）， ∴∠DAM＝∠BCD， ∵∠DAM+∠DAB＝180°， ∴∠DAB+∠BCD＝180°； （2）如图2，过点D作DM⊥BA交BA的延长线于M，DN⊥BC于N， 由（1）得，△DNC≌△DMA，CN＝MA， ∵DA＝DC，∠DAC＝45°， ∴∠DAC＝∠DCA＝45°，即∠DAC+∠DCA＝90°， ∴∠ADC＝90°， ∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝90°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBM＝∠DBN＝45°， ∵∠M＝∠DNB＝90°， ∴∠MDB＝∠BDN＝∠DBM＝∠DBN＝45°， ∴DN＝BN，DM＝BM， ∵DM＝DN， ∴MB＝BN＝DN， 设AB＝a，则BC＝3AB＝3a，设CN＝b，则MA＝CN＝b， ∴MB＝a+b，BN＝3a﹣b， ∴a+b＝3a﹣b， ∴b＝a， ∴BN＝DN＝3a﹣b＝2a， ∴S△BCD＝BC•DN＝•3a•2a＝27， 解得，a＝b＝3， ∴AB＝3； （3）如图3，过点E作EG⊥AB交AB的延长线于G，EH⊥BC于H， 由翻折可知，AE＝AD＝CD＝CE，∠AEC＝∠ADC＝90°． ∵∠AKB＝∠CKE， ∴∠BAE＝∠BCE， 在△AGE和△CHE中， ， ∴△AGE≌△CHE（AAS）， ∴AG＝CH，EG＝EH， ∴BE平分∠CBG，即∠GBE＝∠CBE＝45°＝∠HEB＝∠BEG， ∴BH＝EH＝BG＝EG， 设BH＝k，则AG＝3+k，CH＝9﹣k， ∵AG＝CH， ∴3+k＝9﹣k， 解得，k＝3， ∴EH＝BH＝3， ∵∠BFE＝45°，∠EHF＝90°， ∴∠HEF＝∠HFE＝45°， ∴H