专题10 椭圆大题综合归类-【巅峰课堂】2022-2023学年高二数学热点题型归纳与分阶培优练（人教A版2019选择性必修第一册）

专题10 椭圆大题综合归类 目录 【题型一】 求椭圆方程 2 【题型二】与椭圆有关的求轨迹 4 【题型三】 椭圆大题基础：韦达定理 6 【题型四】椭圆弦长 9 【题型五】 弦椭圆中点与中点弦 11 【题型六】 椭圆常规求面积 13 【题型七】直线过定点 16 【题型八】椭圆中的面积最值范围型 18 【题型九】椭圆中的定值求解与证明 20 【题型十】椭圆中斜率定值 22 【题型十一】椭圆：a=tb型 24 培优第一阶——基础过关练 25 培优第二阶——能力提升练 31 培优第三阶——培优拔尖练 38 综述： 解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： （1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； （2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 直线与椭圆的位置关系： 判别式法，即将直线方程与圆锥曲线方程联立消去一个变量(如y)得出方程Ax2＋Bx＋C＝0： ①Δ＞0⇔有两个交点(相交)； ②Δ＝0⇔有一个交点(相切)； ③Δ＜0⇔没有交点(相离)． (2)弦长问题：弦长公式＋韦达定理，即|AB|＝·| x1－x2|＝·| y1－y2|. (3)中点问题：点差法，即设点代入，然后作差，可以解决中点坐标与直线斜率之间的关系. (4)巧设直线： 反设直线法，即过x轴上一点(a,0)的直线可设为x＝ty＋a，这样可避免对直线斜率存在性的讨论． 【题型一】 求椭圆方程 【典例分析】 求经过点和的椭圆的标准方程，并画出图形． 【答案】， 图形见解析. 【分析】利用待定系数法进行求解即可. 【详解】设椭圆的标准方程为：，该椭圆经过点和， 所以有：，所以椭圆方程为：，图形如下图所示： 【提分秘籍】 基本规律 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 性 质 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴　　对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0) 轴 长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 e＝∈(0,1) a，b，c的关系 a2＝b2＋c2 【变式训练】 1.已知椭圆C：过点，点A为其左顶点，且AM的斜率为，求椭圆C的方程． 【答案】 【分析】根据已知求出，再根据椭圆过点得到，即得解. 【详解】解：由题意可知直线AM的方程为：，即． 当时，解得，所以， 椭圆：过点，可得， 解得．所以C的方程为. 2.求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)两个焦点的坐标分别为，并且椭圆经过点． (2)已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆C上，求C的方程． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据椭圆的定义，椭圆上一点到两焦点距离为，可求出，再由b2＝a2﹣c2计算，写出椭圆方程；（2）由椭圆的对称性可判断椭圆过，两点，又，不同时在椭圆上，可确定点在椭圆C上，将点代入椭圆方程计算，可求出的值，从而写出椭圆方程. (1) 根据题意，两个焦点的坐标分别为，即c＝2， 又由椭圆经过点， 则2a，故a， 则b2＝a2﹣c2＝10﹣4＝6，故要求椭圆的方程为1； (2) 解：由题意，因为，两点关于y轴对称，所以椭圆C经过，两点， 又由，知，椭圆C不经过点，所以点在椭圆C上， 因此，解得，所以椭圆C的方程为． 【题型二】与椭圆有关的求轨迹 【典例分析】 已知是椭圆中垂直于长轴的动弦，是椭圆长轴的两个端点，求直线和的交点的轨迹方程． 【答案】（）． 【分析】由题设，，再根据和三点共线、三点共线得，再根据化简即可得答案； 【详解】解：方法一：（利用点的坐标作参数）由题设， 因为椭圆的长轴端点为， 设直线和的交点为， 因为三点共线，所以，， 因为三点共线，所以，， 所以，两式相乘得，（） 因为，所以，即， 所以，，整理得（）， 所以，直线和的交点的轨迹方程（） 方法二： （利用角作参数） 因为椭圆的参数方程为（为参数） 所以，设，则， 因为椭圆的长轴端点为， 设直线和的交点为， 因为三点共线，所以， ， 因为三点共线，所以，， 所以，两式相乘得 所以，整理得（），即点的轨迹方程为，（）. 【提分秘籍】 基本规律 1.定义法：根据椭圆的定义来求轨迹方程 2.方程＋＝1，当m＝n>0时表示圆；当m>n>0或n>m>0时表示椭圆；当mn<0时表示双曲线． 【变式训练】 1.已知圆的方程x2＋y2＝25，点A为该圆上的动点，AB与x轴垂直，B为垂足，点P分线段BA的比BP：PA=. （1）求点P的轨迹方