第二篇 第13节 导数与不等式-2023高考文科数学一轮复习【导与练】高中总复习第1轮复习讲义（老教材，人教A版）

令M0,得P30或P-130(舍去). 考点二 当20Ps30时，-0；当P30时，M0， [例2]证明：耍远f(x)ae一 所以当=30时，M取最大值23000.故远I). e 只需证cx 第13节导数与不等式 G 捉升关键能力 即e以g<ln+d 考点一 令五(.x:》=]nx (x0) er [例1门(1)解：(a)的定义域为(0,1)， f(z)=d-I 则h'(x)-er一1 z 由题议知，f(2)=0,所以u=2京 易知()在(0，吉)上单调递成，在（合，十）上单词递 1 从而x）=2e-ln-l/(0=28-7 增，则=A(日)=0， 当02时，'(x0; 当x2时，∫（)0. 所以nz≥8 所以f(:x)的单调递增区间为(2，【)，单调递减区间为 尊令(x)=cc2, (0,2). 则g(x)-e一e, （2证朋：当a2时，f)≥g 易知o(x)在(G,1)上单调递增，在(1，x)上单调递减， In a 1. 刘(z)x一g(1)-0, 设R)8-n-1,剥A0名-2 所以e一e0. er 因为h(x)与(x)不同时为0， 当0x1时，g'(x)心0： 当xl时g'(x0. 所以cz心<hx故原不辛式成立 所以x=【是g(x)的极小值点也是最小值点 [对点训练2]证明：要证ze(e-l)x2-xlnx十x, 故当z0时，g(x)产g(1)一0. 网此，当a≥是时，fe)≥0. 即运号≥1h11 [对点训练】(1)解：因为f代x)-1-血， 令4)兰（(>0，则)(>0 32 当r∈(0,1)时，h'(x)0,(x)单调递减： 所以)=，f)=-1 当x∈(l,|心)时，h(7)0,h(x)单调递增， 因为g<)+, 所以h(x)h(1)一e. 所以g)=图子么 令g1+e-1gx)= 当x∈(0，l)时，9'()0，gx)单调递增； 因为曲线v=(x)与曲线y=g(x)的一个公共点是A(1, 当x∈(1.十)时9(x)0,(x)单调递减. ),且在点A处的切线互相垂直。 所以g(x)(1)-e. 所以g(1)=1,且f(1)·g(1)=1, 故五(x)g(x),即fr)g(. 从而g(1)a+1-b1. 考点三 且g'(1)=一u一-1=1，解得a=b=-1. 角度一 (2证明：a)=-8+1+ [例3]解：(1)当as0时.易知f(x)在K上单调选减； 则fx)+g)≥兰与1血L-是-1十x≥0. 监0时x)=一e,令f(x)0,得xlnu,f(x)在 (x,lna)上单调递增，令f(x)0,得x>ln,f(x)在 令h=1-h￥-c-11x(x≥1. (lntu,十)上单调递减 r e"a 综上，当us0时，(x)在R上单调递减；当a0时、f(x)在 则h(1)=0, (一c,lna)上单调递增，在(lna,一x)上单调递减. )=-1兰=11山 (2)当x一1时，∫(x)3一2一x2恒成立，即 调为≥1，所以)=++10， 2-a2+2a31(x≥1)恒成立· 所以(x)在1，十)上单调递增， 设g(r)=2+a,2a3(x≥-1，则g(x)= 所以()会h(1)0,即1-br-e-上-t≥0. 「2-(a2):x十a3]=_(x+1)(x+a3) e 故当xl时，fx)十g()2成立 : ①当3a1,即a1时，g(x)0,g(x)在[1，） 335 23 上单调递减， 所以f)在(-心，血台)和（一2，十0上单满递减： 故g(1)≤1，解得a≤2+是（不特合题意）： 令fr）>0,则1n2<-2, ②当3-a-1,即卵《1时，当一13一a时，g(x) 0,当x3-u时，g(x)0,所以g(r）在[-1,3-a)上单调 所以f()在(l山兰，一2上单调递增， 递增.在(3-2.十)上单调递减，故g(x)mxg(3一a) (2)当n∈（一l,0)时， -a）-u3=a+2-3-0≤，令=8-a,>-1, ()=-0在1，十)上成立， 则1 所以g(x)在[1，|∝)上单调递增， 设h(t)=3(t>1),则(1)=21<0，()在 所以当x时，g(x)g(l)=1, 所以∫(n)=°一ur(n)1恒成立. (一1，十x)上单调递减. 即um1n'恒成立. 文(1)1，(2)1，所以整数t的最小值为2，即整数2的 e(m-1) 最大值为1. 令(n)- m+41-1 综上，整数：的最大值为1， c(m+1),m∈(-1,0)， [对点训练3]解：(1)由题意得f(x)的定义域为(0.十x), 则(m=-m13,2(m12>0. fw-x是11a=+1,g=1Dx⊙ e(m-1)2 所以()在（一1,0）上单调递增、 x 当a0时，在(、心)上f(x)0,所以∫(x)在定义域 所以一1，且≠0， (0,十)上