第12讲：圆锥曲线中的斜率问题(四)-冲刺2023年高考数学压轴题——圆锥曲线专题全面复习讲义

第十二讲：斜率问题（四） 【学习目标】 基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质，直线斜率的表示和计算过程； 应用目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线中，直线与其对应的关系，倾斜角互补，斜率互为相反数； 拓展目标：能够熟练应用数形结合，观察线段长度，位置关系等，进行倾斜角和斜率的转化. 素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学生的数学运算和数学抽象的核心素养. 【基础知识】 1、倾斜角互补 直线和的倾斜角分别为和，当时，则； 2、角度相等 当角度的公共边为轴、轴或与之平行的线段时，则可以找到两条直线的倾斜角之间的关系，即倾斜角互补，斜率相加为零； 3、线段相等 等腰三角形的底边为轴、轴或与之平行的线段时，则可以找到两条直线的倾斜角之间的关系，即倾斜角互补，斜率相加为零； 4、角平分线 当角平分线为轴、轴或与之平行的线段时，则可以找到两条直线的倾斜角之间的关系，即倾斜角互补，斜率相加为零； 【考点剖析】 考点一：倾斜角互补 例1．已知椭圆（）离心率等于，且椭圆C经过点. (1)求椭圆C的方程； (2)过点P作倾斜角分别为的两条直线PA，PB，设PA，PB与椭圆C异于点P的交点分别为A，B，若，试问直线AB的斜率是否为定值？如果为定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由. 变式训练1：已知椭圆()的离心率为，以原点为圆心，以的短半轴长为半径的圆被直线截得的弦长为2. (1)求椭圆的方程； (2)点的坐标为，直线（不过原点也不过点）交于两点，且直线的倾斜角互补，若点是的中点，求直线的斜率. 变式训练2：已知圆：，圆：，动圆与圆和圆均内切. (1)求动圆圆心的轨迹的方程 (2)点（）为轨迹上的点，过点作两条直线与轨迹交于两点，直线，的斜率互为相反数，则直线的斜率是否为定值？若是，求出定值：若不是，请说明理由. 变式训练3：已知抛物线C1：与椭圆C2：（）有公共的焦点，C2的左､右焦点分别为F1，F2，该椭圆的离心率为. (1)求椭圆C2的方程； (2)如图，若直线l与x轴，椭圆C2顺次交于P，Q，R（P点在椭圆左顶点的左侧），且∠PF1Q与∠PF1R互为补角，求△F1QR面积S的最大值. 考点二：角度问题（倾斜角互补） 例1．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点. (1)求椭圆的方程； (2)已知点，（）在椭圆上，点，是椭圆上不同于，的两个动点，且满足：，试问：直线的斜率是否为定值？请说明理由. 变式训练1：已知椭圆：，为上焦点，左顶点到的距离为，且离心率为，设为坐标原点，点的坐标为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若过的直线与交于，两点，证明：. 变式训练2：在平面直角坐标系中，动点到点的距离等于点到直线的距离. (1)求动点的轨迹方程； (2)记动点的轨迹为曲线，过点的直线与曲线交于两点，在轴上是否存在一点，使若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 变式训练3：在平面直角坐标系中，已知圆，点在圆上，过点作轴的垂线，垂足为是的中点，当在圆上运动时形成的轨迹为． (1)求的轨迹方程； (2)若点，试问在轴上是否存在点，使得过点的动直线交于两点时，恒有？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 考点三：长度相等（倾斜角互补） 例1．已知椭圆的离心率为，经过点. (1)求椭圆C的方程； (2)设点A､B在椭圆C上，直线､分别与y轴交于点M､N，，试问直线的斜率是否为定值？如果是定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由. 变式训练1：已知椭圆的左、右焦点分别是，，离心率为，过且垂直于 已知椭圆：的左､右焦点分别为､，焦距为2，点在椭圆上. (1)求椭圆的方程； (2)若点是椭圆上一点，为轴上一点，，设直线与椭圆交于，两点，若直线，关于直线对称，求直线的斜率. 变式训练2：已知椭圆C：的短轴长为2，直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点在椭圆C上，且直线PA与PB关于直线对称. (1)求椭圆C的标准方程； (2)求证：直线AB的斜率为定值. 变式训练3：已知点，直线l的方程为，双曲线的右焦点为，双曲线的两条渐近线与直线l围成的三角形的面积为． (1)求双曲线的方程； (2)直线过点与双曲线相交于A，B两点，直线FA与直线FB分别与y轴交于C，D两点，证明：（O为坐标原点）． 考点四：角平分线（已知） 例1．已知椭圆C：（）的离心率为，点在椭圆C上，点F是椭圆C的右焦点. (1)求椭圆C的方程； (2)过点F的直线l与椭圆C交于M，N两点，则在x轴上是否存在一点P，使得x轴平分？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由， 变式训练1：已知抛物线，过焦点的直线l交抛物线C于M、N两点，且线段中点的纵坐标为2． （1）求直线l的方程； （2）设