第11讲：圆锥曲线中的斜率问题(三)-冲刺2023年高考数学压轴题——圆锥曲线专题全面复习讲义

第十一讲：斜率问题（三） 【学习目标】 基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质，斜率的计算； 应用目标：掌握圆锥曲线中斜率的加减乘除运算，并利用计算进行证明； 拓展目标：能够熟练应用圆锥曲线中的斜率关系，解决相关的位置关系和等量关系问题. 素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学生的数学运算和数学抽象的核心素养. 【基础知识】 1、斜率之和：通过点的坐标，表示出斜率，并表示出，利用通分，转化为两根之和，两根之积的问题，利用韦达定理求解。 2、斜率相乘或相除：通过点的坐标，表示出斜率，并表示出或；利用通分，转化为两根之和，两根之积的问题，利用韦达定理求解。 3、斜率倍数关系：通过点的坐标，表示出斜率，并表示出，转化为；利用通分，转化为两根之和，两根之积的问题，利用韦达定理求解。 4、斜率呈等差数列或等比数列：当斜率呈等差数列时，则，当斜率呈等比数列时，则，最后利用通分，转化为两根之和，两根之积的问题，利用韦达定理求解。 5、斜率求解范围：通过点的坐标，表示出斜率，并表示斜率的关系；利用通分，转化为两根之和，两根之积的问题，韦达定理带入，最后利用基本不等式、二次函数或导数求解最值。 【考点剖析】 考点一：斜率关系一（斜率加减运算） 例1．在平面直角坐标系中，已知点，，点M满足．记点M的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)设直线l不经过点且与曲线C相交于A，B两点．若直线l过定点，证明：直线PA与直线PB的斜率之和为定值. 变式训练1：如图，椭圆经过点，且长轴长是短轴长的倍． (1)求椭圆的方程； (2)经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点、（均异于点），求证：直线与的斜率之和为定值． 变式训练2：已知双曲线的一条渐近线斜率为，且双曲线C经过点． (1)求双曲线C的方程； (2)斜率为的直线l与双曲线C交于异于M的不同两点A、B，直线MA、MB的斜率分别为、，若，求直线l的方程． 变式训练3：已知圆：，定点，是圆上的一动点，线段的垂直平分线交半径于点． (1)求点的轨迹的方程； (2)设直线过点且与曲线相交于两点，不经过点．证明：直线的斜率与直线的斜率之和为定值． 考点二：斜率关系二（斜率乘除运算） 例1．已知椭圆的离心率为，左顶点到左焦点的距离为1，椭圆上一点位于第一象限，点与点关于原点对称，直线与椭圆的另一交点为． (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线的斜率为，直线的斜率为．求证：为定值． 变式训练1：已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于，两点，且． (1)求抛物线的方程； (2)若，是抛物线上一点，过点的直线与抛物线交于，两点（均与点不重合），设直线，的斜率分别为，，求证：为定值． 变式训练2：已知点，，设动点满足直线与的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）若动直线经过点，且与曲线交于（不同于）两点，问：直线与的斜率之比是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 变式训练3：已知椭圆：的两个焦点与短轴的一个端点构成的三角形的面积为，且椭圆的离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）过点且斜率不为零的直线与椭圆交于两点，点，试探究：直线与的斜率之积是否为常数. 考点三：斜率关系三（倍数关系） 例1．已知椭圆C：的离心率为，椭圆C的左、右顶点分别为A、B，直线l：经过椭圆C的右焦点F，且与椭圆交于M，N两点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设直线BM，AN的斜率分别为，，若，求证：为定值． 变式训练1：已知椭圆的离心率为，短轴长为． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知，A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点A作斜率为的直线交椭圆于另一点E，连接EP并延长交椭圆于另一点F，记直线BF的斜率为．若，求直线EF的方程． 变式训练2：已知圆，点，C为圆上任意一点，线段的垂直平分线交半径于点，点P的轨迹为曲线E． (1)求曲线E的方程； (2)若直线不与坐标轴重合与曲线E交于两点，O为坐标原点，设直线的斜率分别为，对任意的斜率k，是否存在实数λ，使得，若存在求实数λ的值，若不存在说明理由. 变式训练3：已知椭圆：的离心率为，椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合． (1)求椭圆的方程． (2)如图，A，B是椭圆的左、右顶点，过点F且斜率不为0的直线交椭圆C于点M，N，直线AM与直线交于点P．记PA，PF，BN的斜率分别为，，，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 考点四：斜率关系四（斜率成等差数列） 例1．已知抛物线：，点在抛物线上. (1)求抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)若直线：交抛物线于两点，交直线：于点，记直线的斜率分别为，，，求证：，，成等差数列. 变式训练1：已知椭圆C：的焦距为，点在上. (1)求的