第09讲：圆锥曲线中的斜率问题(一)-冲刺2023年高考数学压轴题——圆锥曲线专题全面复习讲义

第九讲：斜率问题（一） 【学习目标】 基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质； 应用目标：掌握直线与椭圆，双曲线，抛物线的位置关系的判断，斜率的求解； 拓展目标：能够熟练应用点差法推导中点弦公式，并灵活应用中点弦和相关第三定义. 素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学生的数学运算和数学抽象的核心素养. 【基础知识】 1、直线与圆锥曲线的位置关系 设直线，圆锥曲线，把二者方程联立得到方程组，消去得到一个关于的方程. （1）当时， 方程有两个不同的实数解，即直线与圆锥曲线有两个交点； 方程有两个相同的实数解，即直线与圆锥曲线有一个交点； 方程无实数解，即直线与圆锥曲线无交点. （2）当时，方程为一次方程，若，方程有一个解，此时直线与圆锥曲线有一个交点； 若，方程无解，此时直线与圆锥曲线没有交点. 2、圆锥曲线的中点弦问题 （1）为椭圆的弦，，弦中点M(x0，y0)，则所在直线的斜率为，弦的斜率与弦中点M和椭圆中心O的连线的斜率之积为定值. （2）AB为双曲线的弦，，弦中点M(x0，y0)，则AB所在直线的斜率为，弦AB的斜率与弦中点M和双曲线中心O的连线的斜率之积为定值. （3）在抛物线中，以M(x0，y0) 为中点的弦所在直线的斜率. 【考点剖析】 考点一：位置关系（交点个数） 例1．已知抛物线的焦点到准线的距离为，过点 的直线与抛物线只有一个公共点. (1)求抛物线的方程； (2)求直线的方程. 变式训练1：已知O，F分别是抛物线的顶点和焦点，动点M与点O的距离是它与点F的距离的一半． (1)求动点M的轨迹； (2)若过点的直线l与动点M的轨迹有且只有一个交点，求直线l的方程． 变式训练2：已知双曲线C：的焦距为4，且过点. (1)求双曲线方程； (2)若直线与双曲线C有且只有一个公共点，求实数的值. 变式训练3：在平面直角坐标系中，已知点到两点的距离之和等于，设点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程. （2）若直线与曲线有公共点，求实数的取值范围. 考点二：中点弦公式（椭圆：点差法） 例1．已知椭圆的离心率为，点在上. （1）求的方程； （2）直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为.证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值. 变式训练1：已知动点与平面上点，的距离之和等于. (1)求动点的轨迹方程； (2)若经过点的直线与曲线交于，两点，且点为的中点，求直线的方程. 变式训练2：已知椭圆E：的左，右焦点分别为，，点在E上，且． (1)求E的标准方程； (2)若直线l与E交于A，B两点，且AB中点为，求直线l的方程． 变式训练3：已知椭圆的左、右焦点分别为，，过且与轴垂直的直线交椭圆于点，直线与轴的交点为． （1）求椭圆的离心率； （2）过点且斜率不为0的直线交椭圆于、点，线段的中点为点，求证：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值． 考点三：中点弦公式（抛物线：点差法） 例1．已知抛物线的焦点为F，第四象限的一点在C上，且. (1)求C的方程和m的值； (2)若直线l交C于A,B两点，且线段AB中点的坐标为，求直线l的方程及线段AB的长. 变式训练1：已知是抛物线的焦点，直线交拋物线于、两点. (1)若直线过点且，求； (2)若平分线段，求直线的方程. 变式训练2：已知抛物线上的点到其焦点F的距离为5. (1)求C的方程； (2)过点的直线l交C于A，B两点，且N为线段的中点，求直线l的方程. 考点四：中点弦公式（双曲线：点差法） 例1．已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为1. (1)求的方程； (2)经过点的直线交于两点，且为线段的中点，求的方程. 变式训练1：已知双曲线C的渐近线方程为，且是双曲线上一点. (1)求双曲线C的标准方程及离心率； (2)过点的直线与双曲线C交于不同的两点A､B，且线段AB恰好被点M平分，求直线AB的方程. 变式训练2：已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，离心率，焦距为. （1）求该双曲线方程. （2）是否定存在过点的直线与该双曲线交于、两点，且点是线段的中点若存在，请求出直线的方程，若不存在，说明理由. 变式训练3：已知双曲线：：(，)与有相同的渐近线，且经过点. （1）求双曲线的方程； （2）已知直线与双曲线交于不同的两点､，且线段的中点在圆上，求实数的值. 考点五：椭圆的第三定义（推导公式） 例1．已知椭圆C：（）的离心率为，并且经过点， (1)求椭圆C的方程； (2)设点关于坐标原点的对称点为，点为椭圆C上任意一点，直线的斜率分别为，，求证：为定值． 变式训练1：已知椭圆的离心率为，上顶点，M、N为椭圆上异于点P且关于原点对称的两点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)求证为定值． 变式训练2：已知椭圆