专题09 椭圆离心率题型归类-【巅峰课堂】2022-2023学年高二数学热点题型归纳与分阶培优练（人教A版2019选择性必修第一册）

专题9 椭圆离心率题型归类 目录 【题型一】离心率基础 2 【题型二】利用椭圆第一定义求离心率 3 【题型三】焦点三角形与余弦定理 5 【题型四】顶角直角三角形型 7 【题型五】焦半径与第二定义 10 【题型六】第三定义与中点弦 11 【题型七】焦点三角形：双底角型 14 【题型八】焦点三角形：双余弦定理型 16 【题型九】焦点弦与定比分点 19 【题型十】焦点圆 22 【题型十一】椭圆与圆 23 培优第一阶——基础过关练 26 培优第二阶——能力提升练 30 培优第三阶——培优拔尖练 34 综述： 1.椭圆离心率求解方法主要有： ①求出a，c，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)． ③特殊情况下的不等方程，甚至可以直接设a=1，分别解出c或b的值，c值就是离心率 2.椭圆扁平程度：因为e＝＝＝＝，所以e越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆 【题型一】离心率基础 【典例分析】 如果椭圆的离心率为，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】分焦点在x轴和在y轴两种情况，分别得到a,b的表达式，进而求得c的表达式，然后根据离心率得到关于k的方程，求解即可． 【详解】解：因为椭圆的离心率为， 当时，椭圆焦点在轴上，可得：，解得， 当时，椭圆焦点在轴上，可得：，解得． 或.故选：B． 【提分秘籍】 基本规律 椭圆离心率： 1.e＝＝ e∈(0,1) 2.椭圆扁平程度：因为e＝＝＝＝，所以e越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆 【变式训练】 1.已知椭圆的离心率，则m的值为______． 【答案】或3 【分析】分别对焦点在轴和轴讨论，结合离心率求解m即可. 【详解】已知椭圆方程为当焦点在轴上，即时，有， 则依题意得，解得m＝3.当焦点在轴上，即时，有 则，依题意有解得，即的值为或. 故答案为：或 2.方程表示的曲线是椭圆，则离心率的取值范围是____________． 【答案】； 【分析】根据椭圆的标准方程求解． 【详解】由题意且，解得。所以m-3>m-4，故焦点在x轴上。且 ， 故答案为：． 3.在平面直角坐标系中，若椭圆的两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的四个顶点，则椭圆的离心率是__________. 【答案】 【分析】由题易得，再利用计算即可. 【详解】由已知，，所以，故离心率为. 故答案为：. 【题型二】利用椭圆第一定义求离心率 【典例分析】 已知分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆定义和勾股定理可构造齐次方程求得离心率. 【详解】设，则，由椭圆定义知：； ，，即，， ，椭圆的离心率.故选：C. 【提分秘籍】 基本规律 1.椭圆第一定义： 2.一般情况下，见到与一个焦点有关的长度，则利用第一定义转化为与另一个焦点的距离。 【变式训练】 1.已知椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一点，且，若关于平分线的对称点在椭圆上，则该椭圆的离心率为______． 【答案】【详解】因为关于的对称点在椭圆上，则，，为正三角形，，又， 所以轴，设，则，即，故答案为. 2..已知椭圆C的左、右焦点分别为，，直线AB过与该椭圆交于A，B两点，当为正三角形时，该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义，结合余弦定理、椭圆离心率公式进行求解即可. 【详解】设正三角形的边长为， 设椭圆的标准方程为：，设左、右焦点分别为， 设，则有，由椭圆的定义可知：， ，解得：，， 在中，由余弦定理可知：， 故选：B 3.已知椭圆C：（）的左､右焦点分别为F1，F2，点P为C上一点，若线段的中点在轴上，且，则椭圆C的离心率为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由线段的中点在轴上，得轴，由通径长得，由直角三角形得，然后由椭圆定义得关系，转化可得离心率． 【详解】由已知可得轴，，又，则， ，   ，.故选：D． 【题型三】焦点三角形与余弦定理 【典例分析】 已知是椭圆的一个焦点，若直线与椭圆相交于两点，且，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将与椭圆的左、右焦点连接起来，由椭圆的对称性得到一个平行四边形，利用椭圆的定义和余弦定理，结合重要不等式可得离心率的范围. 【详解】如图设分别为椭圆的左、右焦点，设直线与椭圆相交于，连接. 根据椭圆的对称性可得：四边形为平行四边形. 由椭圆的定义有： 由余弦定理有： 即 所以 当且仅当时取等号，又的斜率存在，故不可能在轴上.