专题19 三角形内接矩形相似模型-2023年中考数学核心几何模型重点突破讲+练

专题19 三角形内接矩形相似模型 【模型】如图，四边形DEFG是△ABC的内接矩形，EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边上，则△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，. 【例1】如图，在中，AD是BC边上的高，在的内部，作一个正方形PQRS，若，，则正方形PQRS的边长为（    ） A． B． C．1 D． 【例2】如图，已知三角形铁皮的边，边上的高，要剪出一个正方形铁片，使、在上，、分别在、上，则正方形的边长________． 【例3】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿边AB向点B运动．过点P作PD⊥AB交折线AC﹣CB于点D，以PD为边在PD右侧做正方形PDEF．设正方形PDEF与△ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒（0＜t＜4）． （1）当点D在边AC上时，正方形PDEF的边长为　 　（用含t的代数式表示）． （2）当点E落在边BC上时，求t的值． （3）当点D在边AC上时，求S与t之间的函数关系式． （4）作射线PE交边BC于点G，连结DF．当DF＝4EG时，直接写出t的值． 一、单选题 1．如图，矩形内接于，且边落在上，若，那么的长为(   ) A． B． C． D． 2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，放置边长分别为3，4，x的三个正方形，则x的值为（    ） A．12 B．7 C．6 D．5 3．如图，将一张面积为50的大三角形纸片沿着虚线剪成三张小三角形纸片与一张矩形纸片．根据图中标示的长度，则矩形纸片的面积为（    ） A．12 B．18 C．24 D．30 4．如图，在△ABC中，AB边上取一点P，画正方形PQMN，使Q，M在边BC上，N在边AC上，连接BN，在BN上截取NE=NM，连接EQ，EM，当时，则∠QEM度数为（       ） A．60° B．70° C．75° D．90° 5．如图，在中，，，，若内接正方形的边长是x，则h、c、x的数量关系为（    ） A． B． C． D． 6．我国古代数学著作《九章算法比类大全》有题如下：“方种芝麻斜种黍，勾股之田十亩无零数．九十股差方为界，勾差十步分明许．借问贤家如何取，多少黍田多少芝麻亩．算的二田无误处，智能才华算中举．”大意是：正方形田种芝麻，斜形（三角形）种黍，有一块直角三角形是10亩整．股差步，勾差步．请问黍田、芝麻各多少亩？（1亩平方步）答：（    ） A．艺麻田3.75亩，黍田6.25亩 B．芝麻田3.25亩，黍田6.75亩 C．芝麻田3.70亩，黍田6.30亩 D．芝麻田3.30亩，黍田6.70亩 二、填空题 7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．在其内并排放入（不重叠）n个相同的小正方形纸片，使这些纸片的一边都在AB上，首尾两个正方形各有一个顶点D，E分别在AC，BC上，则小正方形的边长为 _____（用含n的代数式表示）． 8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，在三角形内挖掉正方形CDEF，则正方形CDEF的边长为________． 9．如图的△ABC中有一正方形DEFG，其中D在AC上，E、F在AB上，直线AG分别交DE、BC于M、N两点．若∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，EF＝1，则BN的长度为_____． 10．如图，矩形内接于，且边落在上．若，，，，那么的长为__． 11．如图，在中，点F、G在上，点E、H分别在、上，四边形是矩形，是的高．，那么的长为____________． 12．在中，，点在线段上，过点作于点，于点，使得四边形为正方形，此时，，则阴影部分面积为_________． 三、解答题 13．如图，己知直角三角形的铁片ABC的两直角边BC、AC的长分别为3cm和4cm，分别采用（1）、（2）两种剪法，剪出一块正方形铁片，为使所得的正方形面积最大，问哪一种剪法好？为什么？ 14．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，∠DEB＝∠FCE，EF∥AB． (1)求证：△BDE∽△EFC； (2)设，△EFC的面积是20，求△ABC的面积． 15．如图，在中，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，，． (1)求证：． (2)若，，求线段BE的长． 16．一块三角形的余料，底边BC长1.8米，高AD＝1米，如图．要利用它裁剪一个长宽比是3∶2的长方形，使长方形的长在BC上，另两个顶点在AB、AC上，求长方形的长EH和宽EF的长． 17．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用． 例：已知x可取任何实数，试求二次三项式的最值． 解： ∵无论x取何实数，总有． ∴，即无论x取何实数，有最小值，是． (1)问