专题15 共边共角相似模型-2023年中考数学核心几何模型重点突破讲+练

专题15 共边共角相似模型 【模型】如图，已知,要证∽,只需再知道一组对应角相等（两组对角分别相等的两三角形相似）或（两组对应边成比例且其夹角对应相等的两三角形相似）即可证明∽ 【例1】如图，在中，是斜边上的高，则图中的相似三角形共有（  ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【例2】如图，在中，点D在AB上，请再添一个适当的条件，使，那么可添加的条件是__________． 【例3】定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”． (1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由； (2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长． 一、单选题 1．如图，点是的边上的一点，若添加一个条件，使与相似，则下列所添加的条件错误的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在△ABC中，AD⊥BC，点D为垂足，为了证明∠BAC＝90°，以下添加的等积式中，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，D是△ABC的边AB上一点，要使△ACD∽△ABC，则具备的条件可以是（   ） A． B． C． D． 4．如图，D是△ABC的边AB上一点，下列条件：①∠ACD＝∠B；②；③＝；④∠B＝∠ACB，其中一定使△ABC∽△ACD的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，已知在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD为BC边的中线，过点C作CE⊥AD于点E，交AB于点F．若AC＝2，则线段EF的长为（　　） A． B． C． D． 6．如图，在△ABC中，DEBC，过点A作AM⊥BC于M，交DE于N，若S△ADE：S△ABC＝4：9，则AN：NM的值是（　　） A．4：9 B．3：2 C．9：4 D．2：1 7．如图，在中，点在AB边上，若，，，，则线段CD的长为（    ） A．4 B．5 C． D． 8．如图，在中，，将绕顶点A逆时针旋转至，此时点D在上，连接，线段分别交于点H、K，则下列四个结论中：①；②是等边三角形；③；④当时，；正确的是（    ） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③ 二、填空题 9．如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，若∠ACD=∠B，AD=2，BD=3，则AC的长为　　　　． 10．如图，，和分别是和的高，若，则与的周长之比为_____．与的面积之比为______． 11．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O．点E在CD上，且DE：EC＝1：3，连接BE交AC于点F，若OF＝，则正方形的边长为_______． 12．如图，已知，，点M、N分别是、的中点，则________． 13．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AF平分∠BAC，交DE于点G，交BC于点F．若∠AED＝∠B，且AG：GF＝3：2，则DE：BC＝_____． 14．将一副三角尺（在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°；在Rt△DEF中，∠EDF＝90°，∠E＝45°）如图①摆放，点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C．将△DEF绕点D顺时针方向旋转角α（0°＜α＜60°），DE′交AC于点M，DF′交BC于点N，则＝________． 15．如图，△ABC中，CE⊥AB，BF⊥AC，若∠A＝60°，EF＝2，则BC＝_______． 16．如图，在△ABC中，AB=AC=6．D是AC中点，E是BC上一点，BE=，∠AED=∠B，则CE的长为_____________． 三、解答题 17．如图，在三角形ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿边AB运动，速度为2cm/s，点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s，如果点P、Q两动点同时运动，何时QBP与ABC相似？ 18．已知，如图，△ABC中，AB＝2，BC＝4，D为BC边上一点，BD＝1，AD+AC=8． （1）找出图中的一对相似三角形并证明； （2）求AC长． 19．如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，且AC=，CD＝4，BD＝2，求证：△ACD∽△BCA． 20．已知：如图，在中，D是AC上一点，联结BD，且∠ABD =∠ACB． （1）求证：△ABD∽△ACB； （2）若AD=5，AB= 7，求AC的长. 21．【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB． 【尝试应用】（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长． 22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且＝． （1）求证 △ACD∽△ABC； （2）若AD＝3，B