拓展探究题模拟题

拓展探究题模拟题 1．【问题提出】：将一个边长为n（n≥2）的菱形的四条边n等分，连接各边对应的等分点，则该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数和菱形个数分别是多少？ 【问题探究】：要研究上面的问题，我们不妨先从特例入手，进而找到一般规律． 探究一：将一个边长为2的菱形的四条边分别2等分，连接各边对应的等分点，则该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数和菱形个数分别是多少？ 如图1，从上往下，共有2行，我们先研究平行四边形的个数： （1）第一行有斜边长为1，底长为1～2的平行四边形，共有2＋1＝3个； （2）第二行有斜边长为1，底长为1～2的平行四边形，共有2＋1＝3个； 为了便于归纳分析，我们把平行四边形下面的底在第二行的所有平行四边形均算作第二行的平行四边形，以下各行类同第二行．因此底第二行还包括斜边长为2，底长为1～2的平行四边形，共有2＋1＝3个． 即：第二行平行四边形共有2×3个． 所以如图1，平行四边形共有2×3＋3＝9＝（2＋1）2． 我们再研究菱形的个数： 分析：边长为1的菱形共有22个，边长为2的菱形共有12个， 所以：如图1，菱形共有22＋12＝5＝×2×3×5个． 探究二：将一个边长为3的菱形的四条边分别3等分，连接各边对应的等分点，则该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数和菱形个数分别是多少？ 如图2，从上往下，共有3行，我们先研究平行四边形的个数： （1）第一行有斜边长为1，底长为1～3的平行四边形，共有3＋2＋1＝6个； （2）第二行有斜边长为1，底长为1～2的平行四边形，共有3＋2＋1＝6个；底在第二行还包括斜边长为2，底长为1～3的平行四边形，共有3＋2＋1＝6个，即：第二行平行四边形共有2×6个． （3）第三行有斜边长为1，底长为1～3的平行四边形，共有3＋2＋1＝6个； 底在第三行还包括斜边长为2，底长为1～3的平行四边形，共有3＋2＋1＝6个． 底在第三行还包括斜边长为3，底长为1～3的平行四边形，共有3＋2＋1＝6个，即：第三行平行四边形共有3×6个． 所以如图2，平行四边形共有3×6＋2×6＋6＝（3＋2＋1）×6＝（3＋2＋1）2． 我们再研究菱形的个数：分析：边长为1的菱形共有32个，边长为2的菱形共有22个，边长为3的菱形共有12个．所以：如图2，菱形共有32＋22＋12＝14＝×3×4×7个． 探究三：将一个边