专题训练（一） 相似三角形的基本模型-2022-2023学年九年级上册初三数学【导与练】初中同步练案阶段专练（青岛版）

专题练 专题训练（一） 相似三角形的基本模型 类型（①>A字型及其变形 类型2)X字型及其变形 (1)如图①，公共角的对边平行，则△ADE∽ (1)如图①，对顶角的对边平行，则△ABO∽ △ABC; △DCO; (2)如图②，公共角的对边不平行，有另一组角相 (2)如图②，对顶角的对边不平行，∠OAB=∠OCD 等，则△ADE∽△ABC; (或∠OBA=∠ODC),则△ABOP△CDO. (3)如图③，公共角的对边不平行，两个三角形有 一条公共边，且有另一组角相等，则△ACD∽ △ABC c- ① ② 4.如图，在□ABCD中，E为AD延长线上一点，BE 分别交AC,CD于点G,F,则图中的相似三角形 有 () 1.如图，在△ABC中，D,E两点分别在BC,AC上， A.3对 B.4对 C.5对 D.6对 且AD平分∠BAC,若∠ABE=∠C,BE与AD D 相交于点F,则图中与△ABD相似的是 A.△ABC B.△ABF 第4题图 第5题图 C.△BFD 5.如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于 D.△AEF 点O,点E为OD的中点，连接AE并延长交DC 2.(2020临清期中)如图，在△ABC中，D为BC上 于点F,则DF:FC等于 () 一点，∠BAD=∠C,AB=6,BD=4,求CD的长. A.1:4 B.1:3 C.2:3 D.1:2 6.如图，已知∠ADE=∠ACB,BD=8,CE=4, CF=2,求DF的长. 3.(2022成武模拟)如图，已知在△ABC中，AB= AC,AD⊥BC于点D,CG∥AB,BG分别交AD, AC于点E,F.求证：BE=EF·EG. 19 “类型（③）>双垂直型 9.如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC,AD<BC, 如图，直角三角形被斜边上的 且AD=5,AB=DC=2,P为AD上的一点，满足 高分成的两个直角三角形与原 ∠BPC=∠A; 三角形相似，即△ACD∽ (1)证明：△ABP∽△DPC; △ABC∽△CBD. (2)求AP的长. 7.如图，在△EAD中，∠EAD=90°，AC是高，且 ∠BAE=∠D.求证：BD·EC=AB·AC. 8.(2022临朐模拟)如图，已知△ABC是锐角三角 形，AD,CE分别是BC,AB边上的高，△ABC和 10.如图，已知在矩形ABCD中，AB=2,P是AD边 △BDE的面积分别是27和3，DE=6√2. 上的任意一点（不含端点A,D),AP=3,连接 (1)证明：△BED∽△BCA; PC,过点P作PE⊥PC交直线AB于点E. (2)求点B到直线AC的距离. (1)求证：△AEPp△DPC; (2)当点P在AD上运动时，对应的点E也随之 在直线AB上运动，设DP=x,AE=y,求y与x 之间的函数关系式.（不需要写出自变量的取值 范围) 类型(4一线三等角型 (1)如图①，Rt△ABD与Rt△BCE的斜边互相垂 直，则有△ABD∽△CEB; (2)如图②，点B,C,E在同一条直线上，∠ABC= ∠ACD=∠E,则有△ABC△CED. E 2018.解：(1)设这个增长率为x, 根据题意，得2(1十x)2=2.42 解得=0.1,0.1×100%=10%，2=-2.1（不合题意，舍去）. ·△ABC和△BDE的面积分别为27和3，DE=6√2， 答：这个增长率为10%. .AC=18V2, (2)2.42×(1+10%)=2.662(万人次). 答：预计第四批公益课受益学生将达到2.662万人次 ·点B到直线AC的距离=2Se=3V2 AC 2 专题练 9.(1)证明：，ABCD是梯形，AD∥BC,AB=DC, .∠A=∠D. 专题训练（一） 相似三角形的基本模型 :∠ABP+∠APB+∠A=180°，∠APB+∠DPC+ 1.D解析：在△ABE与△ACB中，∠ABE=∠C,∠BAE ∠BPC=180°，∠BPC=∠A, ∠CAB,∴.△ABE∽△ACB,∴.∠AEB=∠ABC. .∠ABP=∠DPC, AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠EAF, ∴.△ABPC∽△DPC. ∴.△ABD∽△AEF (2)解：，△ABP∽△DPC, 2.解：∠BAD=∠C,∠B=∠B, ÷△BAD△CA晨-R 品品号m 解得AP=4或AP=1. AB=6,BD=4亮-告， 10.(1)证明：四边形ABCD为矩形， .∠A=∠D,.∠AEP+∠APE=90° 解得BC=9, ∴.CD=BC-BD=9-4=5. :PE⊥PC.∴∠APE+∠CPD=9o°， 3.证明：连接CE,如图. .∠AEP=∠DPC,.△AEP∽△DPC .'AB=AC.AD BC. (解：△AD△DmC,沿-0年号-号 3 .AD是BC的垂直平分线，.BE=CE 3 .∠EBC=∠