专题训练（五） 与切线有关的计算与证明-2022-2023学年九年级上册初三数学【导与练】初中同步练案阶段专练（青岛版）

专题训练（五） 与切线有关的计算与证明 “类型①>切线的判定方法综合 类型3)>切线与相似三角形的综合 1.(2020乐山)如图①，AB是半圆O的直径，AC是 3.如图，已知AB是⊙O的直径，⊙O过AC的中点 一条弦，D是AC上一点，DE⊥AB于点E,交AC D,DE切⊙O于点D,交BC于点E. 于点F,连接BD交AC于点G,且AF=FG. 求证：(1)DE⊥BC; (2)DE=BE·CE (1)求证：点D平分AC; (2)如图②，延长BA至点H,使AH=AO,连接 DH.若点E是线段AO的中点，求证：DH是半圆 O的切线. ① 4.(2021常德)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°， 以AB的中点O为圆心，以AB为直径的圆交AC 于点D,E是BC的中点，ED与BA的延长线交 于点F. (1)求证：FD是⊙O的切线： (2)若BC=4,FB=8,求AB的长. “类型(2)>切线与勾股定理的综合 2.(2020咸宁)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O 在AC上，以OA为半径的半圆O交AB于点D, 交AC于点E,过点D作半圆O的切线DF,交BC 于点F. (1)求证：BF=DF; (2)若AC=4,BC=3,CF=1,求半圆O的半径长. 类型（④>切线与三角比的综合 5.(2021威海)如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB, 垂足为点E,弦BF交CD于点G,点P在CD延 长线上，且PF=PG. (1)求证：PF为⊙O切线； (2)若OB=10,BF=16,BE=8,求PF的长. P 0 26..∠BAP1=∠CAP1-∠CAB=55°-40°=15° .OC=4-r,DF=BF=3-1=2, 当点P在点C的右侧时， .OD2+DF2=OF2=OC2+CF2. .CA=CP2 ∴.∠CAP2=∠CP2A= ∠ACB70 六+2=(4-+1，解得，=13 8 2 2 =35°， 故半国0的半径长为号 .∴.∠BAP2=∠CAP2+∠CAB=35°+ 3.证明：(1)如图，连接OD. 40°=75°. O是AB的中点，D是AC的中点， 由上可得，∠BAP的度数是15°或75° .OD∥BC. 8.3cm或5cm解析：.直线a⊥b,O为直线b上一动点， 又，DE是⊙O的切线， .⊙O与直线a相切时，切点为H,.OH=1cm. .OD⊥DE,.DE⊥BC 当点O在，点H的左侧，⊙O与直线a相切时，如图①. (2)如图，连接BD. OP=PH-OH=4-1=3(cm). ,AB是⊙O的直径 、 .∠ADB=∠DEB=90°， ∴.∠BDE+∠CDE=∠BDE+∠DBE=90°， ∴.∠DBE=∠CDE .·∠DEB=∠DEC=90°， ∴.△DBE△CDE ⑦ 当点O在，点H的右侧，⊙O与直线a相切时，如图②. ÷呢EnE=BECE OP=PH+OH=4+1=5(cm). 4.(1)证明：如图，连接OD 3 ① ∴.⊙O与直线a相切时，OP的长为3cm或5cm 由题可知∠ABC=90°， 专题训练（五）与切线有关的计算与证明 :AB为直径，∴∠ADB=∠BDC=90 1.证明：(1)如图①，连接AD,BC :点E是BC的中点∴DE=号BC=BE=EC, AB是半圆O的直径，∠ADB=90 .∠EDC=/ECD DE⊥AB,.∠ADE=∠ABD. 又，∠ECD+∠CBD=90°，∠ABD+∠CBD=90°， 又.AF=FG, .∠ECD=∠ABD. 即点F是Rt△AGD的斜边AG的中点， OB和OD是圆的半径，∴∠ODB=∠OBD, ∴.DF=AF,.∠DAF=∠ADF=∠ABD .∠ODB+∠BDE=∠EDC+∠BDE=90°， ∴.AD=DC,即，点D平分AC. 即∠ODE=90°， (2)如图②，连接OD,AD,BC 故FD是⊙O的切线 ,点E是线段OA的中点， (2)解：由(1)可知BE=EC=DE=号BC=2. 0E=20A=20D.÷∠A0D=60, 在Rt△FBE中，FE=√/FB十BE=/82+22=2I7, ∴△OAD是等边三角形， .FD=FE-DE=2√I7-2. .∴.AD=AO=AH、 .∠AHD=∠HDA=30°，∴∠HDO=90°，.OD⊥DH. 又，在Rt△FDO和Rt△FBE中，∠FDO=∠FBE=90°， ∠OFD=∠EFB 又OD为半径， .DH是半圆O的切线， △FDO△FBE0 ,即27-2-8 OD 解得OD=T-1,AB=20D=√17-1， 2 即AB的长为√17-1. 5.(1)证明：连接OF,如图①. 2.(1)证明：连接OD,如图」 .PF=PG,∴.∠PFG=∠PGF ,过点D作半圆O的切线DF,交BC于 .·∠BGE=∠PGF, 点F, ∴.∠PFG=∠BGE. .∠ODF