专题04 对角互补模型（从全等到相似）-2023年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（全国通用）

专题04 对角互补模型（从全等到相似） 全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1.对角互补模型（全等模型） 【模型解读】 四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。常见含90°、120°（60°）及任意角度的三种对角互补类型。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形全等. 【常见模型及结论】 1）全等型—60º和120º：如图1，已知∠AOB＝2∠DCE＝120º，OC平分∠AOB. 则可得到如下几个结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 2）全等型—90º：如图2，已知∠AOB＝∠DCE＝90º，OC平分∠AOB. 则可以得到如下几个结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 3）全等型—和：如图3，已知∠AOB＝，∠DCE＝，OC平分∠AOB. 则可以得到以下结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝2OC·cos，③. 1．（2021·贵州黔东南·中考真题）在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD． （探究发现）（1）如图①，若∠BAD＝，∠ABC＝∠ADC＝．求证：AD＋AB＝AC； （拓展迁移）（2）如图②，若∠BAD＝，∠ABC＋∠ADC＝．①猜想AB、AD、AC三条线段的数量关系，并说明理由；②若AC＝10，求四边形ABCD的面积． 【答案】（1）见解析；（2）①AD＋AB＝AC，见解析；② 【分析】（1）根据角平分线的性质得到∠DAC＝∠BAC＝，然后根据直角三角形中是斜边的一半即可写出数量关系；（2）①根据第一问中的思路，过点C分别作CE⊥AD于E，CF⊥AB于F，构造证明△CFB△CED，根据全等的性质得到FB＝DE，结合第一问结论即可写出数量关系； ②根据题意应用的正弦值求得的长，然后根据的数量关系即可求解四边形ABCD的面积． 【详解】（1）证明：∵AC平分∠BAD，∠BAD＝，∴∠DAC＝∠BAC＝， ∵∠ADC＝∠ABC＝， ， ∴∠ACD＝∠ACB＝，∴AD＝．∴AD＋AB＝AC， （2）①AD＋AB＝AC，理由：过点C分别作CE⊥AD于E，CF⊥AB于F． ∵AC平分∠BAD，∴CF＝CE，∵∠ABC＋∠ADC＝，∠EDC＋∠ADC＝，∴∠FBC＝∠EDC， 又∠CFB＝∠CED＝，∴△CFB△CED，∴FB＝DE， ∴AD＋AB＝AD＋FB＋AF＝AD＋DE＋AF＝AE＋AF， 在四边形AFCE中，由⑴题知：AE＋AF＝AC，∴AD＋AB＝AC； ②在Rt△ACE中，∵AC平分∠BAD，∠BAD＝∴∠DAC＝∠BAC＝， 又∵AC＝10，∴CE＝A，∵CF＝CE，AD＋AB＝AC， ∴＝． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质和应用，解直角三角形，关键是辨认出本题属于角平分线类题型，作垂直类辅助线． 2．（2022·广东深圳·一模）【问题提出】如图1，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【尝试解决】旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题． （1）如图2，连接，由于，所以可将绕点顺时针方向旋转，得到，则的形状是　 ． （2）在（1）的基础上，求四边形的面积． （3）如图3，等边的边长为2，是顶角为的等腰三角形，以为顶点作一个的角，角的两边分别交于点，交于点，连接，求的周长． 【答案】（1）等边三角形；（2）；（3）4 【分析】（1）由旋转的性质得出，，所以是等边三角形； （2）求出等边三角形的边长为3，求出三角形的面积即可； （3）将绕点顺时针方向旋转，得到，则，得出，，，证明，证得的周长． 【详解】解：（1）∵将绕点顺时针方向旋转，得到， ∴≌， ∴，， ∴是等边三角形； 故答案为：等边三角形； （2）过B′作B′E⊥BD于E， 由（1）知，， ∴， ∴， 由（1）知△B′BD为等边三角形， ∴∠B′BE=60°，BD=, ∵四边形的面积＝三角形BCD面积+三角形ACD面积=三角形B′AD面积+三角形ACD面积=等边三角形的面积， ∴BE=B′Bsin60°=， ∴； （3）解：将绕点顺时针方向旋转，得到， ∴， ∴，，，， ∵是等腰三角形，且， ∴，， 又∵等边三角形， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴，，三点共线， ∵， ∴， 即， 在和中， ∴， ∴， ∴的周长． 故的周长为4． 【点睛】本题考查三角形全等变换，等边三角形判定，四边形面积转化为三角形面积，图形旋转，直角三角形判定，三点共线，三