专题06 相似模型-母子型（共角共边模型）和A（X）字型-2023年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（全国通用）

专题06 相似模型-母子型（共角共边模型）和A（X）字型 相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到相似三角形的问题就信心更足了．本专题重点讲解相似三角形的六大基本模型． 模型1.“母子”模型(共边角模型) 【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．“双垂线”型是其特例。 “ 母子”模型（斜射影） 双垂直（射影定理） “母子型”的变形 斜射影结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC. 双垂直结论： ①△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC；②△ADC∽△ACB，AC2＝AD·AB；③△CDB∽△ACB，CB2＝BD·BA. 1．（2022·贵州贵阳·中考真题）如图，在中，是边上的点，，，则与的周长比是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明△ACD∽△ABC，即有，则可得，问题得解． 【详解】∵∠B=∠ACD，∠A=∠A， ∴△ACD∽△ABC，∴， ∵，∴， ∴， ∴△ADC与△ACB的周长比1:2，故选：B． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证明△ACD∽△ABC是解答本题的关键． 2．（2022·陕西汉中·九年级期末）如图，是等腰直角斜边的中线，以点为顶点的绕点旋转，角的两边分别与、的延长线相交，交点分别为点、，与交于点，与交于点，且．(1)如图1，若，求证：；(2)如图2，若，求证：； (3)如图2，过作于点，若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)． 【分析】（1）由题意可得∠BCD=∠ACD=45°，∠BCE=∠ACF= 90°，从而可得∠DCE=∠DCF = 135°，于是可证得，则有DE= DF；（2）结合（1）可求得∠CDF +∠F= 45°从而可得∠F =∠CDE，则，利用相似三角形的性质即可求解；（3）由DG⊥BC，∠ACB=90°，∠BCD=∠ACD=45°，结合（2）可求得CE = 2，从而可求得CG= DG=，可证得，从而可求得GN =，再利用勾股定理即可求得DN． （1）证明∶∵∠ACB=90°，AC= BC，CD是中线， ∴∠BCD=∠ACD=45°，∠BCE=∠ACF= 90°，∴∠DCE=∠DCF= 135° ∵在△DCE与△DCF中， ，∴，∴DE= DF； （2）证明∶∵∠DCE= ∠DCF= 135°∴∠CDF+∠F=180°-135°=45°， ∵∠CDF +∠CDE=45°，∴∠F=∠CDE， ∴ ，∴，即； （3）解：如图， ∵DG⊥BC，∠ACB=90°，∠BCD=∠ACD=45°， ∴∠DGN=∠ECN=90°， ∠GCD=∠CDG=45°，∴CG= DG 当CD=2，CF=时，由可得，CE=2， 在Rt△DCG中， ∵∠ECN =∠DGN，∠ENC=∠DNG，∴， ∴，∴， ∴． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理，作出适当的辅助线，并熟记相似三角形的判定条件与性质是解题的关键． 3．（2022·浙江绍兴·九年级期末）如果两个相似三角形的对应边存在2倍关系，则称这两个相似三角形互为母子三角形． （1）如果与互为母子三角形，则的值可能为（    ） A．2    B．    C．2或 （2）已知：如图1，中，是的角平分线，． 求证：与互为母子三角形． （3）如图2，中，是中线，过射线上点作，交射线于点，连结，射线与射线交于点，若与互为母子三角形．求的值． 【答案】（1）C；（2）见解析；（3）或3． 【分析】（1）根据互为母子三角形的定义即可得出结论； （2）根据两角对应相等两三角形相似得出，再根据从而得出结论；（3）根据题意画出图形，分当分别在线段上时和当分别在射线上时两种情况加以讨论； 【详解】（1）∵与互为母子三角形，∴或2故选：C （2）是的角平分线，，，． 又，与互为母子三角形．        （3）如图，当分别在线段上时， 与互为母子三角形，，， 是中线，，又，． ，，． 如图，当分别在射线上时， 与互为母子三角形，，， 是中线，，又，． ，，．综上所述，或3 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、分类讨论的数学思想以及接受与理解新生事物的能力．准确理解题设条件中互为母子三角形的定义是正确解题的先决条件，在分析与解决问题的过程中，要考虑全面，进行分类讨论，避免漏解．