专题11 圆锥曲线中的定值问题-2023年高考数学微专题复习（新高考地区专用）

专题11 圆锥曲线中的定值问题 一、真题剖析 【2020年新高考1卷（山东卷）】已知椭圆C：的离心率为，且过点． （1）求的方程： （2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值． 【试题情景】本题属于课程学习情景，本题以椭圆为载体，考查考生对直线与椭圆位置关系的综合性应用，侧重于对利用几何特征求过定点问题、定值的考查。 【必备知识】本题考查直线与椭圆位置关系、线段为定值的问题。 【能力素养】本题考查逻辑思维能力和运算能力，考查的学科素养是理想思维和数学探索，本题（1）由题意得到关于的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程.（2）方法一：设出点，的坐标，在斜率存在时设方程为, 联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已得到的关系，进而得直线恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点的位置. 【解析】 （1）由题意可得：，解得：， 故椭圆方程为：. (2)［方法一］：通性通法 设点， 若直线斜率存在时，设直线的方程为：， 代入椭圆方程消去并整理得：， 可得，， 因为，所以，即， 根据,代入整理可得： ，              所以， 整理化简得， 因为不在直线上，所以， 故，于是的方程为， 所以直线过定点直线过定点. 当直线的斜率不存在时，可得， 由得：， 得，结合可得：， 解得：或（舍）. 此时直线过点. 令为的中点，即， 若与不重合，则由题设知是的斜边，故， 若与重合，则，故存在点，使得为定值. ［方法二］【最优解】：平移坐标系 将原坐标系平移，原来的O点平移至点A处，则在新的坐标系下椭圆的方程为，设直线的方程为．将直线方程与椭圆方程联立得，即，化简得，即． 设，因为则，即． 代入直线方程中得．则在新坐标系下直线过定点，则在原坐标系下直线过定点． 又，D在以为直径的圆上．的中点即为圆心Q．经检验，直线垂直于x轴时也成立． 故存在，使得． 二、题型选讲 题型一 圆锥曲线中面积为定值问题 例1、（2022·山东青岛·高三期末）已知为坐标原点，点在椭圆上，椭圆的左右焦点分别为，且. (1)求椭圆的标准方程； (2)若点在椭圆上，原点为的重心，证明：的面积为定值. 【解析】(1) 由椭圆的左右焦点分别为，且， 可知： ，即① ， 将代入方程得： ②， ① ②联立解得 ， ② 故椭圆的标准方程为. (2) 证明：设 ， 当直线 斜率不存在时，即 ， 由原点为的重心，可知 故可得此时有 ，该点在椭圆上，则 ， 不妨取 ，则有，或， 则此时 ; 当直线 斜率存在时，不妨设方程为 ， 则联立 ，整理得： ， 且需满足 ， 则 ， 所以 ， 由原点为的重心知， ， 故坐标为 ，代入到中， 化简得： ，即 ， 又原点为的重心，故到直线的距离为原点到直线距离的3倍， 所以 ， 而 = = ， 因此 =， 综合上述可知：的面积为定值. 变式1、（2022·湖南郴州·高三期末）已知圆，点，是圆上一动点，若线段的垂直平分线与线段相交于点． (1)求点的轨迹方程； (2)已知为点的轨迹上三个点（不在坐标轴上），且，求的值． 【解析】 (1)由已知有， ∴点的轨迹是以为焦点的椭圆，其中，∴， ∴点的轨迹方程 (2) 由，可知为的重心， ∴， 由已知的斜率存在，设直线的方程为：，， 由， 则， ， 由，， ∴， ， ∴． 变式2、（2022·山东泰安·高三期末）设点是椭圆上一动点，分别是椭圆的左，右焦点，射线分别交椭圆于两点，已知的周长为8，且点在椭圆上. (1)求椭圆的方程； (2)证明： 为定值. 【解析】(1) 根据椭圆的定义可得： 解得： 将代入方程，得 解得： 椭圆C的方程为： (2) 由题知，，设，则直线的方程为 由得 同理可得 为定值. 题型二 圆锥曲线中斜率为定值问题 例2、（2022·江苏海安·高三期末）已知双曲线：的两条渐近线互相垂直，且过点． (1)求双曲线的方程； (2)设为双曲线的左顶点，直线过坐标原点且斜率不为，与双曲线交于，两点，直线过轴上一点（异于点），且与直线的倾斜角互补，与直线，分别交于（不在坐标轴上）两点，若直线，的斜率之积为定值，求点的坐标． 【答案】(1)； (2). 【解析】 【分析】 （1）由题意可得，，解方程求出的值即可求解； （2），设，，，，直线，的斜率分别为，根据，，可得利用和所表示的点的坐标，同理可得利用和所表示的点的坐标，将整理为关于的方程，由对于任意的恒成立列出等价条件即可求解. (1) 由可得渐近线方程为：， 因为两条渐近线互相垂直，所以，可得， 又因为，解得：， 所以双曲线的方程为. (2) 设，，，， 由（1）知：，设直线，的斜率分别为， 因为三点共线，所以，即， 因为直线过轴上一点（异于