专题19 立体几何与空间向量（解答题压轴题）-【挑战压轴题】备战2023年高考数学高分必刷必过题（新高考版）

专题19 立体几何与空间向量（解答题压轴题） 立体几何与空间向量（解答题压轴题） ①直线与平面所成角问题 ②二面角问题 ③体积（距离）问题 ④折叠问题 ①直线与平面所成角问题 1．（2022·黑龙江·勃利县高级中学高二阶段练习）如图，在四棱锥中，是边长为2的正三角形，，，，，，，分别是线段，的中点. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 2．（2022·江苏苏州·高一期末）如图，在直四棱柱中，底面是边长为的菱形，，，，分别是线段，上的动点，且. (1)若二面角为，求的长； (2)当三棱锥的体积为时，求与平面所成角的正弦值的取值范围. 3．（2022·全国·高一单元测试）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，. (1)为上一点，且，当平面时，求实数的值； (2)当平面与平面所成的锐二面角的大小为时，求与平面所成角的正弦值. 4．（2022·吉林·长春外国语学校高一期末）如图，直四棱柱的底面是边长为的菱形，且. (1)证明：平面平面； (2)若平面平面，求与平面所成角的正弦值. 5．（2022·福建省永泰县第一中学高二开学考试）四棱锥，底面ABCD是平行四边形，，且平面SCD平面ABCD，点E在棱SC上，直线平面BDE. (1)求证：E为棱SC的中点； (2)设二面角的大小为，且.求直线BE与平面ABCD所成的角的正切值. 6．（2022·山东烟台·高一期末）如图，在三棱柱中，侧面ABCD为矩形． (1)设M为AD中点，点N在线段PC上且，求证：平面BDN； (2)若二面角的大小为，，且，求直线BD和平面QCB所成角的正弦值的取值范围． 7．（2022·吉林·长春吉大附中实验学校高一期末）如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为直角梯形，，，，，点在线段上，且． (1)探究在线段上是否存在点，使得平面，若存在，试证明你的结论；若不存在，请说明理由． (2)设二面角的大小为，若，求直线与平面所成角的正弦值． 8．（2022·黑龙江·铁人中学高一期末）在三棱台中， ， ， 侧面 平面 (1)求证： 平面； (2)求证： 是直角三角形； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 9．（2022·江西·新余市第一中学高二开学考试）如图，已知四棱锥，底面是矩形，，点是棱上一劫点（不含端点）. (1)求证：平面平面； (2)当且时，若直线与平面所成的线面角，求点的运动轨迹的长度. 10．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，几何体中，均为正三角形，四边形为正方形，平面，，M，N分别为线段与线段的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 11．（2022·全国·高三专题练习（理））如图，在四棱锥中，四边形ABCD是菱形，，，三棱锥是正三棱锥，E，F分别为，的中点. (1)求证：直线平面SAC； (2)求二面角的余弦值； (3)判断直线SA与平面BDF的位置关系.如果平行，求出直线SA与平面BDF的距离；如果不平行，说明理由. 12．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，E为的中点，且． (1)求证：平面； (2)记的中点为N，若M在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． ②二面角问题 1．（2022·浙江·慈溪中学高三开学考试）如图，在四棱锥中，平面平面，是的平分线，且. (1)若点为棱的中点，证明：平面； (2)已知二面角的大小为，求平面和平面的夹角的余弦值. 2．（2022·山西大附中高三阶段练习）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为． (1)若为棱的中点，求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，指出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由. 3．（2022·安徽·高三开学考试）如图，在三棱柱中，平面 . (1)求证:; (2)若，直线与平面所成的角为 ，求二面角的正弦值. 4．（2022·广东湛江·高二期末）如图，在三棱柱中，平面，，，且为线段的中点，连接，，. (1)证明：； (2)若到直线的距离为，求平面与平面夹角的余弦值. 5．（2022·浙江嘉兴·高一期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，平面平面PBC，，． (1)求证：； (2)若PD与平面PBC所成的角为，求二面角的余弦值． 6．（2022·广东广州·高二期末）如图，四棱锥中，四边形是矩形，平面，E是的中点． (1)若的中点是M，求证：平面； (2)若，求平面与平面所成二面角的正弦值． 7．（2022·贵州·遵义航天高级中学高二阶段练习（理））如图，在四面体ABCD中，是正三角形，是直角三角形，，AB=BD． (1)求证：平面平面ABC； (2)若，二面角的余弦值为，求