2023年上海高中自主招生数学全真模拟试卷(六）

高中自主招生数学全真模拟试卷（六） 1． 填空题 1. 设，其中x为任意实数，则y的取值范围是_______. 2. 如图，从直角△ABC的直角顶点C作斜边AB的三等分点的连线CE、CF，已知CE=，CF=(α为锐角),则AB=_______. 3. 如图，已知PA、PB分别切⊙O于点A、B，PC满足， 且AP⟂PC，∠PAB=2∠BPC，则∠ACB=_______ 4. 如图，在梯形ABCD中，DC||AB，，MN为中位线，EF||AB且过AC与BD的交点，点E、F分别在AD、BC上，则梯形CDEF、梯形FEMN、梯形NMAB面积的边比等于_________. 5. 设均为正整数，且它们之间满足关系 ，则 6. 在直角坐标系中，以原点O为圆心作⊙O，设⊙O与x轴正半轴交于点P，D(6,8)在⊙O上，点E、F在线段OP上(与点O和P不重合)，连接DE、DF并延长与⊙O分别交于B、C，直线BC与x轴交于点G,若DE=DF，则sin∠CGO=________. 7. 如图，将1，2，3，.....9这9个数字全部填入3X3的方格表内，每个方格填一个数.其中中心方格内填入的数字为4，且使得每行中从左到右的数字，每列中自下而上的数字都按照从小到大的顺序排列的不同填法有_______种. 8. 已知α是方程的一个解，则直线一定不经过第______象限. 2． 解答题 9. 如图，AB是⊙O的直径，C是半圆AB的中点，点D在⊙O内，且DC=1，DA=4，DB=，求⊙O的面积. 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B、C在x轴上，AO=8，AB=AC，sin∠ABC=,点D在AB上，CD与y轴交于点E，且满足，求经过点B、C、E的抛物线的解析式. 11. 如图，⊙O1与⊙O2外切于点P，⊙O1、⊙O2的半径分别为2，1，O1A为⊙O2的切线，AB为⊙O2的直径，O1B分别为⊙O1、⊙O2于点C、D，求CD+3PD的值. 12. 不等式，求满足条件的非负整数解数组(a,b,c) 参考答案 1. 解：原式可化为. 2. 如图所示，设AC=b，BC=a，分别过点E、F作EM⟂AC，FN⊥AC，垂足分别是点M、N，因此BE=EF=FA，则EM=，FN=，CM=，CN=，在Rt△CEM中，.在Rt△CFN中，所以，即有，故AB= 3. 如图，由AB·PB-AC∙PC=AB·PC-AC∙PB得(AB+AC)(AB-AC)=0,故PB=PC，又PA=PB，则PA=PB=PC；从而点A、B、C在以P为圆心，PA为半径的圆上，不妨设∠ACB=α，∠APB=2α，∠BPC=90°-2α，又∠PAB=2∠PBA=180°-4α，∠PAB=∠PBA=90°-α，则180°-4α=90°-α，于是α=30°=∠ACB 4. 易证梯形CDEF~梯形NMAB，梯形CDMN~梯形FEAB，设DC=1，则AB=3，MN=2，EF=1.5，设梯形CDEF的面积为1，则梯形NMAB的面积为4，再设梯形EFMN的面积为x，注意到MN:AB=2：3，由结论1得，解得x=，故所求的连比为5：7：20 5. 依次将n=1,2,3代入关系式，得，,又且都是正整数，则，由于比大2，而且中只有13与11差为2且自身是不小于3的因数，于是则；因此，只能是，所以或2，当时，不是整数；当时，，符合条件，故 6. 如图，过点D作DM⟂EF于点M，延长DM与O交于点N，连接ON与BC交于点Q，则DM平分∠EDF，从而，所以ON⊥BC，易知G、M、Q、N共圆，所以∠CGO=∠ONM，又MN=DM=8,OM=6，则ON=10，故sin∠CGO=sin∠ONM= 7. a的最小值为1，h最大值为9,所以,b、d互换共有2种可能.，这组共3种可能，再互换位置共有2种可能，所以12种. 8. 当，又α是方程的一个解，则α>0，得所以，故直线一定不经过第四象限. 9. 如图，连接AC、BC，则∠ACB=90°，AC=BC，将△BDC绕点C顺时针旋转90°得ADC连接DD，则△ADC≌△BDC，故DC=DC=1，AD=BD=，∠DCD=90°，由勾股定理得DD=，在△ADD中，因为DA2+DD2=16，，所以∠ADD=90°，易知∠CDD=45°，故∠ADC=∠ADD+∠CDD=135°，过点A作AE⊥CD交CD的延长线于点E，则∠ADE=180°-∠ADC=45°，在Rt△AED中，ED=AE=ADsin∠ADE=,由勾股定理得AC=BC=，AB=，所以，S= 10. 由sin∠ABC=,AO=8得AB=10，由勾股定理得BO=6，易知△ABO≌△ACO，因此CO=BO=6，于是A(0,-8)、B(6,0)、C(-6,0),设点D(m,n),由则得n=-4；故