2.1.2 两条直线平行和垂直的判定（Word教参）【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 课程标准 核心素养目标 1．能根据斜率判定两条直线平行或垂直． 2．能利用两直线平行或垂直的条件解决有关问题. 1．会判断两条直线的平行与垂直．(逻辑推理、直观想象) 2．会利用两直线平行与垂直判定平面图形的形状．(逻辑推理) 1．两条直线平行与斜率之间的关系 设两条不重合的直线l1，l2，若斜率存在且分别为k1，k2，倾斜角分别为α1，α2，则对应关系如下： 条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 示意图 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线斜率都不存在 [微练1]判断正误 (1)若两条不重合的直线的倾斜角相等，则这两条直线必定平行．(　√　) (2)若两条直线平行，则这两条直线的倾斜角一定相等．(　√　) 2．两条直线垂直与斜率之间的关系 示意图 对应关系 l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1 l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2 [微练2]已知直线l1的斜率k1＝2，直线l2的斜率k2＝－，则l1与l2(　　) A．平行 B．垂直 C．重合 D．非以上情况 B　解析：∵k1·k2＝2×(－)＝－1，∴l1⊥l2. [微练3]已知直线l1的斜率为0，且l1⊥l2，则l2的倾斜角为(　　) A．0° B．135° C．90° D．180° C　解析：因为kl1＝0，且l1⊥l2，所以kl2不存在，所以直线l2的倾斜角为90°. 知识点一　两条直线平行 判断下列各题中的直线l1与l2是否平行： (1)l1经过点A(－1，－2)，B(2，1)，l2经过点M(3，4)，N(－1，－1)； (2)l1的斜率为1，l2经过点A(1，1)，B(2，2)； (3)l1经过点A(0，1)，B(1，0)，l2经过点M(－1，3)，N(2，0)； (4)l1经过点A(－3，2)，B(－3，10)，l2经过点M(5，－2)，N(5，5)． 解：(1)k1＝＝1，k2＝＝，因为k1≠k2，所以l1与l2不平行． (2)k1＝1，k2＝＝1，k1＝k2，故l1∥l2或l1与l2重合． (3)k1＝＝－1，k2＝＝－1，则有k1＝k2.又kAM＝＝－2≠－1. 则A，B，M不共线．故l1∥l2. (4)由已知点的坐标，得l1与l2均与x轴垂直且不重合，故有l1∥l2. 判定两条直线平行的方法步骤 直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1，1)且与y轴交于点P，则P点坐标为(　　) A．(3，0) B．(－3，0) C．(0，－3)　 D．(0，3) D　解析：∵k1＝2，l1∥l2，∴k2＝2.设P(0，y)，则k2＝＝y－1＝2，∴y＝3，即P(0，3)． 知识点二　两条直线垂直 (1)l1经过点A(3，2)，B(3，－1)，l2经过点M(1，1)，N(2，1)，判断l1与l2是否垂直； (2)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2，3)，直线l2经过点C(2，3)，D(－1，a－2)，若l1⊥l2，求a的值． 解：(1)直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率为0，所以l1⊥l2. (2)由题意知，l2的斜率k2一定存在，l1的斜率可能不存在． 当l1的斜率不存在时，3＝a－2，即a＝5， 此时k2＝0，则l1⊥l2，满足题意． 当l1的斜率k1存在时，a≠5，由斜率公式， 得k1＝＝，k2＝＝. 由l1⊥l2知k1k2＝－1，即×()＝－1，解得a＝0.综上所述，a的值为0或5. 使用斜率公式判定两直线垂直的步骤 (1)一看：看所给两点的横坐标是否相等．若相等，则直线的斜率不存在；若不相等，则进行第二步． (2)二代：将点的坐标代入斜率公式． (3)求值：计算斜率的值，进行判断，尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式对参数进行讨论． 已知直线l1的斜率k1＝，直线l2经过点A(3a，－2)，B(0，a2＋1)，且l1⊥l2，则实数a＝________． 答案：1或3 解析：∵kAB＝＝，又l1⊥l2，∴·＝－1，得a＝1或a＝3. 知识点三　两条直线平行与垂直的综合问题 如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0，0)，P(1，t)，Q(1－2t，2＋t)，R(－2t，2)，其中t>0.试判断四边形OPQR的形状． 解：由斜率公式得kOP＝＝t，kRQ＝＝＝t，kOR＝＝－，kPQ＝＝＝－，所以kOP＝kRQ，kOR＝kPQ，从而OP∥RQ，OR∥PQ. 所以四边形OPQR为平行四边形． 又kOP·kOR＝－1，所以OP⊥OR，又|OP|＝，|OR|＝＝2，∴|OP|≠|OR|.故四边形OPQR为