2.1.1 倾斜角与斜率（Word教参）【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

2.1　直线的倾斜角与斜率 2.1.1　倾斜角与斜率 课程标准 核心素养目标 1．在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素． 2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，了解用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式. 1．理解并会求直线的倾斜角．(逻辑推理) 2．会求直线的斜率．(逻辑推理、数学运算) 1．直线的倾斜角 (1)确定一条直线的条件 两点确定一条直线，一点和一个方向也可以确定一条直线． 规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向． (2)直线的倾斜角 前提条件 直线l与x轴相交 定义 以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α 特殊情况 当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0° 取值范围 0°≤α<180° [微练1]如图所示，直线l的倾斜角为(　B　) A．45° B．135° C．0° D．不存在 2．直线的斜率 (1)斜率的定义 一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. (2)斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝． (3)斜率与倾斜角之间的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 (4)若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝． [微练2]已知一条直线过点(3，－2)与点(－1，－2)，则这条直线的倾斜角θ是(　　) A．0° B．45° C．60° D．90° A　解析：∵k＝＝0，∴θ ＝0°. [微练3]已知经过两点(5，m)和(m，8)的直线的斜率等于1，则m的值是(　　) A．5 B．8 C． D．7 C　解析：由斜率公式可得＝1，解之得m＝. 知识点一　求直线的倾斜角(或范围) (1)设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转40°，得直线l1，则直线l1的倾斜角为(　　) A．α＋40° B．α－140° C．140°－α D．当0°≤α<140°时，为α＋40°；当140°≤α<180°时，为α－140° (2)设直线l1过原点，其倾斜角α＝15°，直线l1与l2的交点为A，且l1与l2向上的方向之间所成的角为75°，则直线l2的倾斜角为__________． 答案：(1)D　(2)90° 解析：(1)因为0°≤α<180°，显然A，B，C选项未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知， 当0°≤α<140°时，如图①所示，l1的倾斜角为α＋40°； 当140°≤α<180°时，如图②所示，l1的倾斜角为40°＋α－180°＝α－140°. (2)设直线l2的倾斜角为α，由图可知，α＝15°＋75°＝90°，∴直线l2的倾斜角为90°. 求直线倾斜角的方法及关注点 (1)定义法：根据题意画出图形，结合倾斜角的定义找倾斜角． (2)关注点：结合图形求角时，应注意平面几何知识的应用，如三角形内角和定理及其有关推论． 已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是(　　) A．0°≤α<90° B．90°≤α<180° C．90°<α<180° D．0°<α<180° C　解析：直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°. 知识点二　求直线的斜率 已知点A的坐标为(3，4)，在坐标轴上有一点B，若kAB＝4，则点B的坐标为(　　) A．(2，0)或(0，－4) B．(2，0)或(0，－8) C．(2，0) D．(0，－8) B　解析：设B(x，0)或(0，y)，∵kAB＝或kAB＝，∴＝4或＝4，∴x＝2，y＝－8，∴点B的坐标为(2，0)或(0，－8)． 求过两点的直线的斜率及倾斜角的方法 (1)已知两点坐标求直线的斜率时，首先应检验其横坐标是否相等，若相等，其斜率不存在；若不相等，可用公式来求． (2)当α＝0°时，k＝0；当0°<α<90°时，k>0；当90°<α<180°时，k<0；当α＝90°时，斜率不存在．若求α的具体值，可用公式k＝tan α求解． 求经过A(m，3)，B(1，2)两点的直线的斜率k，并指出倾斜角α的取值范围． 解：当m＝1时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为α＝90°. 当m≠1时，由斜率公式可得k＝＝. ①当m＞1时，k＝＞0， 所以直线的倾斜角的取值范围是0°＜α＜90°. ②当m＜1时，k＝＜0， 所以直线的倾斜角的取值范围是90°＜α＜180°. 知识点三　倾斜