2.1.1 倾斜角与斜率（word教参）-【优化指导】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

2．1　直线的倾斜角与斜率 2．1.1　倾斜角与斜率 课程内容标准 学科素养凝练 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素． 2．理解直线的倾斜角和斜率的概念． 3．经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式． 4．掌握倾斜角与斜率的对应关系． 通过直线的倾斜角和斜率的概念及对应关系的学习与运用，达成数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养． [对应学生用书P25] 定义 当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角 规定 当直线l与x轴平行或重合时，规定直线l的倾斜角为0° 记法 α 图示 范围 0°≤α<180° 作用 (1)表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度 (2)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可 1．直线l的倾斜角α与直线l上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的坐标有如下关系：tan α＝． 2．我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．常用小写字母k表示，即k＝tan_α． 3．倾斜角和斜率分别从形和数两个角度刻画了直线相对于x轴的倾斜程度，它们的对应关系： 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) 0 k>0 不存在 k<0 4.若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应．(√) (2)若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应．(×) (3)若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等．(×) (4)直线的倾斜角α的集合{α|0°≤α＜180°}与直线集合建立了一一对应关系．(×) (5)坐标平面上所有的直线都有倾斜角，但并不所有直线都有斜率．(√) 2．下图中α能表示直线l的倾斜角的是(　C　) A．①　　　　B．①②　　　　C．①③　　　　D．②④ 3．(教材P55练习题2改编)在直角坐标系中，一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为(　B　) A．30° B．60° C．120° D．150° 4．若点A(4，3)，B(5，a)，C(6，5)三点共线，则a的值为4． [对应学生用书P26] (1)设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°得到直线l1，则直线l1的倾斜角为(　　) A．α＋45° B．α－135° C．135°－α D．当0°≤α＜135°时，倾斜角为α＋45°，当135°≤α＜180°时，倾斜角为α－135° (2)设直线l1过原点，其倾斜角α＝15°，直线l1与l2的交点为A，且l1与l2向上的方向之间所成的角为75°，则直线l2的倾斜角为________． [分析]　对于(1)，由于α不确定，需分情况讨论；对于(2)，画出图象，利用图象求解． (1)D　(2)90°　[(1)根据题意，画出图形，如图所示． 因为0°≤α＜180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知： 当0°≤α＜135°，l1的倾斜角为α＋45°； 当135°≤α＜180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°. (2)设直线l2的倾斜角为α，由图可知，α＝15°＋75°＝90°，∴直线l2的倾斜角为90°.] [方法总结]　直线的倾斜角可以看作是由x轴绕着交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的最小正角．所以求直线的倾斜角时，往往借助于图形．结合图形求倾斜角时，应注意倾斜角的范围以及平面几何知识的应用 [训练1]　已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为________. 60°或120°　[有如下两种情况： (1)如图①，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°. (2)如图②，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°.] [知能解读]　斜率的两种求法 (1)定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tan α求斜率． (2)公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k＝(x1≠x2)求斜率． 直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________． 解题流程： 第一步　泛读题目明待求结论：直线l斜率的取值范围． 第二步　精读题目挖已知条件：直线l过点P(1，0