1.1.1 空间向量及其线性运算（Word教参）【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

1.1　空间向量及其运算 1.1.1　空间向量及其线性运算 课程标准 核心素养目标 1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念． 2．经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程. 1.理解空间向量的有关概念．(数学抽象) 2．掌握空间向量的线性运算．(逻辑推理、数学运算) 3．会判断向量的共面．(逻辑推理) 1．空间向量的有关概念 (1)空间向量 ①定义：在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量． ②长度：空间向量的大小叫做空间向量的长度或模． (2)空间向量的表示 (3)几类特殊向量 特殊向量 定义 零向量 长度为0的向量，记为0 单位向量 模为1的向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，记为－a 共线向量 或平行向量 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量． 规定：零向量与任意向量平行 相等向量 方向相同且模相等的向量 [微练1]判断正误 (1)若|a|＝|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反．(　×　) (2)若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|.(　√　) (3)空间向量就是空间中的一条有向线段．(　×　) (4)在四边形ABCD中，一定有＋＝.(　×　) 2．空间向量的线性运算及其运算律 空间向量的线性运算 空间向量 的线性运算 加法 a＋b＝＋＝ 减法 a－b＝－＝ 数乘运算 当λ>0时，λa＝λ＝ 当λ<0时，λa＝λ＝ 当λ＝0时，λa＝0 运算律 交换律 a＋b＝b＋a 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，λ(μa)＝(λμ)a 分配律 (λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb [微练2]已知λ∈R，则下列命题正确的是(　C　) A．|λa|＝λ|a| B．|λa|＝|λ|a C．|λa|＝|λ||a| D．|λa|＞0 [微练3]已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，则＋＋为(　A　) A． B． C． D．0 3．空间向量共线、共面的充要条件 (1)空间向量共线的充要条件 对任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb． (2)直线的方向向量 ①如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上的任意一点P，存在实数λ，使得＝λa，把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量． ②直线可以由其上一点和它的方向向量决定． (3)空间向量共面的充要条件 ①平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． ②空间向量共面的充要条件：向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb． [微练4]判断正误 (1)若表示两向量的有向线段所在的直线为异面直线，则这两个向量不是共面向量．(　×　) (2)若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb.(　×　) (3)空间中任意三个向量一定是共面向量．(　×　) [微练5]空间的任意三个向量a，b，3a－2b，它们一定是(　B　) A．共线向量 B．共面向量 C．不共面向量 D．既不共线也不共面向量 知识点一　空间向量有关概念的辨析 给出下列说法：①在同一条直线上的单位向量都相等；②只有零向量的模等于0；③在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与是相等向量；④在空间四边形ABCD中，与是相反向量；⑤在三棱柱ABC-A1B1C1中，与的模一定相等的向量一共有4个．其中正确说法的所有序号为________． 答案：②③ 解析：①错误，在同一条直线上的单位向量，方向可能相同，也可能相反，故它们不一定相等；②正确，零向量的模等于0，模等于0的向量只有零向量；③正确，与的模相等，方向相同；④错误，空间四边形ABCD中，与的模不一定相等，方向也不一定相反；⑤错误，在三棱柱ABC-A1B1C1中，与的模一定相等的向量是，，，，，一共有5个． 空间向量概念的辨析 (1)向量的两个要素是大小与方向，两者缺一不可； (2)单位向量的方向虽然不一定相同，但长度一定为1； (3)两个向量的模相等，即它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件； (4)由于方向不能比较大小，因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的，但向量的模是可以比较大小的． 如图所示，以长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中， (1)试写出与相等的所有向量； (2)试写出的相反向量； (3)若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量AC1的模． 解：(1)与向量相等的向量有，，，共3个． (2)与向量的相反向量为，，，，共4个． (3)||2＝||2＋||2＋||2＝22＋2