1.1.1 空间向量及其线性运算（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

　 1．1.1　空间向量及其线性运算 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.了解空间向量的概念． 2.掌握空间向量的加减运算． 3.掌握空间向量的数乘运算． 重点难点 重点：向量的加减、数乘运算． 难点：共线向量、共面向量的掌握及运用. (一)空间向量的有关概念 1．空间向量的定义及表示 定义 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量 长度或模 空间向量的大小叫做空间向量的长度或模 表示方法 几何表示 空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模 字母表示 向量的起点是A，终点是B，可记作a，也可记作，其模记作|a|或|| 2．几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量叫做单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记为－a 共线向量 (平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量，规定零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量叫做相等向量，在空间中，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量 对共线向量的理解 (1)零向量和任一空间向量是共线向量． (2)共线向量不具有传递性，如a∥b，b∥c，但a∥c不一定成立，因为当b＝0时，虽然a∥b，b∥c，但a不一定与c共线． 1．判断正误 (1)空间向量就是空间中的一条有向线段．(　 ) (2)不相等的两个空间向量的模必不相等．(　 ) (3)任一向量与它的相反向量不相等．(　 ) (4)向量与向量的长度相等．(　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1的顶点表示的向量中，模与向量的模相等的向量有________个． 解析：如图，模与向量的模相等的向量有，，，，，，，共7个． 答案：7 (二)空间向量的线性运算 加法 a＋b＝＋＝ 减法 a－b＝－＝ 数乘 当λ＞0时，λa＝＝λ，当λ＝0时，λa＝0，当λ＜0时，λa＝＝λ 线性运算的运算律 (1)交换律：a＋b＝b＋a； (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)， λ(μa)＝(λμ)a； (3)分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa， λ(a＋b)＝λa＋λb.(λ，μ∈R) 空间向量数乘运算的注意点 (1)实数与空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如λ±a无意义． (2)任何实数与向量的积仍是一个向量．空间向量的数乘运算可以把向量的模扩大(当|λ|＞1时)，也可以缩小(当|λ|＜1时)；可以不改变向量的方向(当λ＞0时)，也可以改变向量的方向(当λ＜0时)． (3)注意实数与向量的乘积的特殊情况：当λ＝0时，λa＝0；当λ≠0时，若a＝0，则λa＝0. 1．已知空间向量a，b，c，化简(a－2b－3c)＋(－a＋3b＋3c)的结果为(　 ) A．0 B．b C．－b D．－a 解析：选B　(a－2b－3c)＋(－a＋3b＋3c)＝(1－1)a＋(－2＋3)b＋(－3＋3)c＝b. 2．在四面体OABC中，＋－等于(　 ) A. B. C. D. 解析：选C　＋－＝＋＋＝＋＝. (三)共线向量与共面向量的充要条件 1．空间向量共线的充要条件 (1)空间向量共线的充要条件：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)方向向量：如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa.我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量． 2．空间向量共面的充要条件 (1)向量和直线平行：如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l. (2)向量和平面平行：如果表示向量a的有向线段所在的直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α. (3)共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． (4)空间向量共面的充要条件：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 1．对向量共线的充要条件的理解 (1)在此充要条件中，要特别注意b≠0，若不加b≠0，则该充要性不一定成立．例如，若a≠0，b＝0，则a∥b，但λ不存在，该充要性也就不成立了． (2)该充要条件包含两个命题： ①a∥b(b≠0)⇒存在唯一的实数λ，使a＝λb； ②存在唯一的实数λ，使a＝λb(b≠0)⇒a∥b. (3)向量共线的充要条件可以作为判定线线平行的依据