1.2.3 第二课时 含量词命题的否定（Word教参）【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册（湘教版2019）

第二课时　含量词命题的否定 课程内容标准 学科素养凝练 1.能正确使用存在量词对全称命题进行否定． 2.能正确使用全称量词对特称命题进行否定． 　　通过对全称命题与特称命题的学习，强化逻辑推理、数学运算的核心素养． 1．命题“∀x∈I，p(x)”的否定是“∃x∈I，¬p(x)”； 2．命题“∃x∈I，p(x)”的否定是“∀x∈I，¬p(x)”． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的画“×”． (1)特称命题的否定是一个全称命题．(√) (2)∃x∈M，使x具有性质p(x)与∀x∈M，x不具有性质p(x)的真假性相反．(√) (3)从特称命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定.(×) (4)命题“非负数的平方是正数”的否定是“非负数的平方不是正数”．(×) 2．命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是(　　) A．所有不能被2整除的数都是偶数 B．所有能被2整除的数都不是偶数 C．存在一个不能被2整除的数是偶数 D．存在一个能被2整除的数不是偶数 D　[全称命题的否定为相应的特称命题，即将“所有”变为“存在”，并且将结论进行否定．] 3．命题“∃x∈R，使得f(x)＝x”的否定是(　　) A．∀x∈R，都有f(x)＝x B．不存在x∈R，使得f(x)≠x C．∀x∈R，都有f(x)≠x D．∃x∈R，使得f(x)≠x C　[命题的否定为“∀x∈R，都有f(x)≠x”．] 4．已知命题p：∀x>2，x3－8＞0，那么命题p的否定是______________________． ∃x＞2，x3－8≤0　[命题p为全称命题，其否定为特称命题，即命题p的否定：∃x＞2，x3－8≤0.] 写出下列命题的否定，并判断真假： (1)p：∃x＞1，使x2－2x－3＝0； (2)p：有些素数是奇数； (3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解； (4)可以被5整除的整数，末位是0. 解　(1)命题的否定：∀x＞1，x2－2x－3≠0. 假命题，如x＝3时，x2－2x－3＝0. (2)命题的否定：任意素数都不是奇数．假命题，如素数3为奇数． (3)是全称命题，其否定：∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在．真命题，如a＝0，b＝0时，x∈R；a＝0，b≠0，解不存在． (4)是全称命题，其否定：存在被5整除的整数，末位不是0.真命题，如15. [方法总结]　对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题 (1)确定命题类型，是全称命题还是特称命题． (2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词． (3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等． (4)无量词的全称命题要先补回量词再否定． [训练1]　写出下列命题的否定，并判断真假： (1)任何一个平行四边形的对边都平行； (2)非负数的平方是正数； (3)有的四边形没有外接圆； (4)∃x，y∈Z，使得 x＋y＝3. 解　(1)命题的否定为“存在一个平行四边形的对边不都平行”．由平行四边形的定义知，这是假命题． (2)命题的否定为“存在一个非负数的平方不是正数”．因为02＝0，不是正数，所以该命题是真命题． (3)命题的否定为“所有四边形都有外接圆”．因为只有对角互补的四边形才有外接圆，所以命题的否定为假命题． (4)命题的否定为“∀x，y∈Z，都有x＋y≠3”． ∵当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，∴命题的否定为假命题． 若“∃x∈R，ax2－2x－1≥0”为假命题，求实数a的取值范围． 解题流程： 第一步，泛读题目明待求结论：求实数a的取值范围． 第二步，精读题目挖已知条件：存在x∈R，ax2－2x－1≥0”为假命题． 第三步，建立联系寻解题思路：已知条件等价于“对任意x∈R，ax2－2x－1<0”为真命题． 第四步，书写过程养规范习惯． 解　“存在x∈R，ax2－2x－1≥0”为假命题，等价于“对任意x∈R，ax2－2x－1<0”为真命题，即等价于对任意x∈R，ax2－2x－1<0恒成立． 当a＝0时，∴－2x－1＜0即x＞－，显然，当a＝0时，不符合题意． 当a≠0时，有Δ＝4＋4a<0且a<0，解得a<－1. 综上，实数a的取值范围是(－∞，－1). [方法总结]　根据命题p与¬p的真假性相反，可将命题转化为其等价命题，以达正难则反的解题目的． [训练2]　若命题：“∃x∈R，使得4mx2＋4mx－3≥0成立”是假命题，则实数m的取值范围是__________． (－3，0]　[问题等价于“∀x∈R，4mx2＋4mx－3＜0成立”是真命题．当m＝0时，原不等式化为“－3＜0”，∀x∈R显然成立；当m≠0时，只需解得－3＜m＜0. 综上，得－3＜m≤0.]