1.2.3 第一课时 含有量词的命题（Word练习）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册（湘教版2019）

1．将“x2＋y2≥2xy”改写成全称命题，下列说法正确的是(　　) A．∀x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy B．∃x，y∈R，使x2＋y2≥2xy C．∀x>0，y>0，都有x2＋y2≥2xy D．∃x<0，y<0，使x2＋y2≤2xy A　[这是一个全称命题，且x，y∈R.] 2．(多选题)下列命题中是特称命题的为(　　) A．有一个平行四边形是菱形 B．任何一个平行四边形是菱形 C．某些平行四边形是菱形 D．有的平行四边形是菱形 ACD　[选项B为全称命题，其余的均为特称命题．] 3．(多选题)下列命题与“∃x∈R，x2>3”等价的表述的是(　　) A．有一个x∈R，使得x2>3成立 B．对有些x∈R，使得x2>3成立 C.任选一个x∈R，使得x2>3成立 D．至少有一个x∈R，使得x2>3成立 ABD　[题干中的命题是特称命题，而选项C是全称命题，选项ABD的表述均与题干命题等价．] 4．下列命题中，是特称命题且是真命题的为(　　) A．实数都可以写成小数形式 B．凸多边形的外角和等于360° C．存在一个实数，它的相反数是它本身 D．至少存在一个无理数x，使x2－x＝0成立 C　[选项AB都是全称命题，选项D只有x＝0或1时成立．] 5．若命题“∀x∈(3，＋∞)，x＞a”是真命题，则a的取值范围是________． (－∞，3]　[由题意知当x＞3，有x＞a恒成立，故a≤3.] 6．命题“存在实数x，y，使得x＋y＞1”是________________(填“全称命题”或“特称命题”)，用符号表示__________________． 特称命题　 ∃x，y∈R，x＋y＞1　[命题“存在实数x，y，使得x＋y＞1”是特称命题，用符号表示为“∃x，y∈R，x＋y>1”．] 7．用全称量词把下列语句写成全称命题，并判断真假： (1)x2＋2x＋3≥2； (2)负数都没有对数； (3)非负实数有两个偶次方根． 解　(1)∀x∈R，x2＋2x＋3≥2. ∵x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，∴它是真命题． (2)所有的负数都没有对数．它是真命题． (3)所有的非负实数都有两个偶次方根．它是假命题． 8．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假． (1)每个二次函数的图象都开口向下； (2)存在一个四边形不是平行四边形； (3)p：∀x∈R，x2＋2>0； (4)p：∃x∈R，x2＋1＝0. 解　(1)是全称命题且为假命题． (2)是特称命题且为真命题． (3)是全称命题且为真命题． (4)是特称命题且为假命题． 9．有下列四个命题，其中真命题是(　　) A．∀n∈R，n2≥n B．∃n0∈R，∀m∈R，mn0＝m C．∀n∈R，∃m0∈R，m<n D．∀n∈R，n2<n B　[对于选项A，令n＝，即可验证其不正确；对于选项CD，可令n＝－1，加以验证，均不正确．] 10．(多选题)下列四个命题中是假命题的为(　　) A．存在x∈Z，1<4x<3 B．存在x∈Z，5x＋1＝0 C．任意x∈R，x2－1＝0 D．任意x∈R，x2＋x＋2>0 ABC　[选项A中，<x<且x∈Z，不成立；选项B中，x＝－，与x∈Z矛盾；选项C中，x≠±1时，x2－1≠0；选项D正确．] 11．命题p：∃x∈R，x2＋2x＋5<0是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”). 特称命题　假　[命题p：∃x∈R，x2＋2x＋5<0是特称命题．因为x2＋2x＋5＝(x＋1)2＋4>0恒成立，所以命题p为假命题．] 12．下列四个命题： ①∀x∈R，x2－3x＋2>0恒成立； ②∃x∈Q，x2＝2； ③∃x∈R，x2＋1＝0； ④∀x∈R，4x2>2x－1＋3x2. 其中真命题的个数为________． 0　[x2－3x＋2>0，∴当x>2或x<1时，x2－3x＋2>0才成立，∴①为假命题．当且仅当x＝±时，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题．对∀x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题.4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，∴④为假命题．∴①②③④均为假命题．] 13．用符号“∀”与“∃”表示下面含有量词的命题并判断其真假： (1)自然数的平方大于零； (2)存在一对整数，使2x＋4y＝3； (3)存在一个无理数，它的立方是有理数． 解　(1)∀x∈N，x2>0.因为0也是自然数，0的平方是0.所以，全称命题“自然数的平方大于零”是假命题． (2)∃x，y∈Z，2x＋4y＝3.由2x＋4y＝3，得x＋2y＝，若x，y∈Z，则x＋2y也是整数，不可能等于.所以，存在量词命题“存在一对整数，使2x＋4y＝3”是