专题20 一次函数-2022-2023学年初中数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练

专题20 一次函数 一、一次函数与几何探究 【典例】 如图，点B1在直线l：yx上，点B1的横坐标为1，过点B1作B1A1⊥x轴，垂足为A1，以A1B1为边向右作正方形A1B1C1A2，延长A2C1交直线l于点B2；以A2B2为边向右作正方形A2B2C2A3，延长A3C2交直线l于点B3；…；按照这个规律进行下去，点B2022的坐标为 　 　． 【解答】解：∵点B1在直线l：yx上，点B1的横坐标为1，过点B1作B1A1⊥x轴，垂足为A1， ∴A1（1，0），B1（1，）， ∵四边形A1B1C1A2是正方形， ∴A2（，0），B2（，）， A3（，0），B3（，）， A4（，0），B4（，）， …… An（，0），Bn（，）， ∴点B2022的坐标为（，）， 故答案为：（，）． 【巩固】如图，在平面直角坐标系中，点N1（1，1）在直线l：y＝x上，过点N1作N1M11l，交x轴于点M1；过点M1作M1N2⊥x轴，交直线l于点N2；过点N2作N2M2⊥l，交x轴于点M2；过点M2作M2N2⊥x轴，交直线l于点N3；…：按此作法进行下去，则点M2022的坐标为 　 　． 二、一次函数与几何综合题 【典例】如图，在直角坐标系中，点A的坐标是（0，3），点C是x轴上的一个动点；点C在x轴上移动时，始终保持△ACP是等边三角形．当点C移动到点O时，得到等边三角形AOB（此时点P与点B重合） （1）点C在移动的过程中，当等边三角形ACP的顶点P在第三象限时（如图所示），求证：△AOC≌△ABP； （2）求点C在x轴上移动时，点P所在函数图象的解析式． 【解答】解：（1）证明：∵△ACP与△AOB都是等边三角形 ∴AC＝AP，AO＝AB，∠CAP＝∠OAB＝60° ∴∠CAP+∠PAO＝∠OAB+∠PAO ∴∠CAO＝∠PAB 在△AOC和△ABP中 ∴△AOC≌△ABP（SAS） （2）∵△AOC≌△ABP ∴∠COA＝∠PBA＝90° ∴点P在过点B且与AB垂直的直线上 ∵△AOB是等边三角形，A（0，3） ∴B（，） 当点C移动到点P在y轴上时，得P（0，﹣3） 设点P所在直线解析式为y＝kx+b（k≠0），把点B、P坐标分别代入得 解得 ∴点P所在函数图象的解析式为yx﹣3． 【巩固】如图1，直线AB的解析式为y＝kx+6，D点坐标为（8，0），O点关于直线AB的对称点C点在直线AD上． （1）求直线AD、AB的解析式． （2）如图2，若OC交AB于点E，在线段AD上是否存在一点F，使△ABC与△AEF的面积相等，若存在求出F点坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图3，过点D的直线l：y＝mx+b，当它与直线AB夹角等于45°时，求出相应m的值． 巩固练习 1．如图，点A，B，C在一次函数y＝﹣2x+m的图象上，它们的横坐标依次为﹣1，1，2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（　　） A．1 B．3 C．3（m﹣1） D． 2．将函数y＝2x+b（b为常数）的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折至其上方后，所得的折线是函数y＝|2x+b|（b为常数）的图象．若该图象在直线y＝2下方的点的横坐标x满足0＜x＜3，则b的取值范围为（　　） A．﹣4≤b≤﹣2 B．﹣6≤b≤2 C．﹣4≤b≤2 D．﹣8≤b≤﹣2 3．如图，将长为2，宽为1的四个矩形如图所示摆放在坐标系中，若正比例函数y＝kx的图象恰好将所组成的图形分为面积相等的两部分，则k的值等于（　　） A．1 B． C． D． 4．设直线y＝kx+k﹣1和直线y＝（k+1）x+k（k为正整数）及x轴围成的三角形面积为Sk，则S1+S2+S3+…+S2009的值是　 　． 5．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，4），B（3，0），连接AB，将△AOB沿过点B的直线折叠，使点A落在x轴上的点A′处，折痕所在的直线交y轴正半轴于点C，则直线BC的解析式为 　 　． 6．设﹣1≤x≤2，则|x﹣2||x|+|x+2|的最大值与最小值之差为　 　． 7．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，4），B（4.0），一次函数y＝﹣2x的图象与直线AB交于点P． （1）求P点的坐标； （2）若M点是y轴上一点，且△PMA的面积等于10，求点M的坐标； （3）若直线y＝﹣2x+b与△AOB的三边恰好有两个公共点，直接写出b的取值范围 　 　． 8．先阅读材料，再解决问题： 已知点P （x0，y0）和直线y＝kx+b，则点P到直线y＝kx+b的距离d可用公式d计算．例如：求点P（﹣2，1）到直线y＝2x+3的距离． 解：由直线y＝2x+3可知k＝2，b＝3．所以点P（﹣2，1