圆的综合题2020年一模（浙江杭州）

圆的综合题2020年一模（浙江杭州） 1．如图：AB是⊙O的直径，AC交⊙O于G，E是AG上一点，D为△BCE内心，BE交AD于F，且∠DBE=∠BAD． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）求证：DF=DG； （3）若∠ADG=45°，DF=1，则有两个结论：①AD•BD的值不变；②AD－BD的值不变，其中有且只有一个结论正确，请选择正确的结论，证明并求其值． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）正确的结论：AD﹣BD的值不变，证明见解析，AD﹣BD=. 【详解】 试题分析：（1）根据三角形内心的性质得出∠DBC=∠DBE，进而根据已知求得∠DBC=∠BAD，根据圆周角定理即可证得从而求得AB⊥BC，证得结论； （2）连接，根据圆内接四边形外角的性质得出由三角形外角的性质求得证得 进而求得 由三角形内心的性质得出 然后根据AAS证得△DEF≌△DEG,从而证得 （3）在AD上截取DH=BD，连接BH、BG，证得是等腰直角三角形，得出然后证得△ABH∽△GBD，得出求得即可求得 试题解析：(1)证明：∵D为△BCE内心， ∴∠DBC=∠DBE， ∵∠DBE=∠BAD. ∴∠DBC=∠BAD， ∵AB是的直径， ∴ ∴ ∴ 即 ∴AB⊥BC， ∴BC是的切线； (2)证明：如图1，连接DE， ∵∠DBC=∠BAD，∠DBC=∠DBE， ∴∠DBE=∠BAD， ∴∠ABF+∠BAD=∠ABF+∠DBE， ∴∠BFD=∠ABD， ∵∠DGC=∠ABD， ∴∠BFD=∠DGC， ∴∠DFE=∠DGE， ∵D为△BCE内心， ∴∠DEG=∠DEB， 在△DEF和△DEG中 ， ∴△DEF≌△DEG(AAS)， ∴DF=DG； (3)AD−BD的值不变； 如图2，在AD上截取DH=BD，连接BH、BG， ∵AB是直径， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴∠AHB=∠BDG， ∵∠BAD=∠BGD， ∴△ABH∽△GBD， ∴ ∵DG=1， ∴ ∵AD−BD=AD−DH=AH， ∴ 点睛：直径所对的圆周角是直角. 2．如图，已知四边形ABCD内接于圆O，连接BD，∠BAD=105°，∠DBC=75°． （1）求证：BD=CD； （2）若圆O的半径为3，求的长． 【答案】（1）证明过程见解析；（2）π 【分析】 （1）直接