圆的综合题2020年二模（浙江杭州）

圆的综合题2020年二模（浙江杭州） 1．如图，已知半圆⊙O的直径AB＝10，弦CD∥AB，且CD＝8，E为弧CD的中点，点P在弦CD上，联结PE，过点E作PE的垂线交弦CD于点G，交射线OB于点F． （1）当点F与点B重合时，求CP的长； （2）设CP＝x，OF＝y，求y与x的函数关系式及定义域； （3）如果GP＝GF，求△EPF的面积． 【答案】（1）CP＝2；（2）；（3） 【分析】 （1）如图1，连接EO，交弦CD于点H，根据垂径定理得EO⊥AB，由勾股定理计算，可得EH的长，证明∠HPE＝∠HGE＝45°，则PE＝GE．从而可得结论； （2）如图2，连接OE，证明△PEH∽△EFO，列比例式可得结论； （3）如图3，作PQ⊥AB，分别计算PE和EF的长，利用三角形面积公式可得结论． 【详解】 （1）连接EO，交弦CD于点H， ∵E为弧CD的中点， ∴EO⊥AB， ∵CD∥AB， ∴OH⊥CD， ∴CH＝， 连接CO， ∵AB＝10，CD＝8， ∴CO＝5，CH＝4， ∴， ∴EH＝EO﹣OH＝2， ∵点F与点B重合， ∴∠OBE＝∠HGE＝45°， ∵PE⊥BE， ∴∠HPE＝∠HGE＝45°， ∴PE＝GE， ∴PH＝HG＝2， ∴CP＝CH﹣PH＝4﹣2＝2； （2）如图2，连接OE，交CD于H， ∵∠PEH+∠OEF＝90°，∠OFE+∠OEF＝90°， ∴∠PEH＝∠OFE， ∵∠PHE＝∠EOF＝90°， ∴△PEH∽△EFO， ∴， ∵EH＝2，FO＝y，PH＝4﹣x，EO＝5， ∴， ∴． （3）如图3，过点P作PQ⊥AB，垂足为Q， ∵GP＝GF， ∴∠GPF＝∠GFP， ∵CD∥AB， ∴∠GPF＝∠PFQ， ∵PE⊥EF， ∴PQ＝PE， 由（2）可知，△PEH∽△EFO， ∴， ∵PQ＝OH＝3， ∴PE＝3， ∵EH＝2， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题属于圆综合题，考查了垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形列比例式解决问题，属于中考压轴题． 2．如图1，△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，延长BC到点D，使BD=BA，P是BC边上一点．点Q在射线BA上，PQ=BP，以点P为圆心，PD长为半径作⊙P，交AC于点E，连接PQ，设PC=x． （1）