圆的综合题中考真题（浙江杭州）

圆的综合题中考真题（浙江杭州） 1．如图，锐角三角形内接于，的平分线交于点，交边于点，连接． (1)求证：． (2)已知，，求线段的长（用含，的代数式表示）． (3)已知点在线段上（不与点，点重合），点在线段上（不与点，点重合），，求证：． 【答案】(1)见解析；(2)；(3)见解析 【分析】 (1)由题目已知角平分线相等得到两个相等，同弧所对的两个圆周角相等，从而证明两三角形相似； (2)由(1)中的相似可以得到线段成比例，再由即可求得； (3)要证即证，已知条件有一对角相等，利用外角关系可以证明，从而得证． 【详解】 (1)因为平分， 所以， 又因为， 所以． (2)由(1)，知， 因为， 所以， 所以． (3)因为， 又因为， 所以， 因为， 所以， 又因为， 所以， 所以， 所以． 【点睛】 本题考查了圆的圆周角概念，相似三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点，解题关键是要根据已知条件找到相似的两个三角形并通过角度的转换从而证明相似． 2．如图，已知AC，BD为⊙O的两条直径，连接AB，BC，OE⊥AB于点E，点F是半径OC的中点，连接EF． （1）设⊙O的半径为1，若∠BAC＝30°，求线段EF的长． （2）连接BF，DF，设OB与EF交于点P， ①求证：PE＝PF． ②若DF＝EF，求∠BAC的度数． 【答案】（1）；（2）①见解析；②∠BAC＝45° 【分析】 （1）解直角三角形求出AB，再证明∠AFB＝90°，利用直角三角形斜边中线的性质即可解决问题． （2）①过点F作FG⊥AB于G，交OB于H，连接EH．想办法证明四边形OEHF是平行四边形可得结论． ②想办法证明FD＝FB，推出FO⊥BD，推出△AOB是等腰直角三角形即可解决问题． 【详解】 （1）解：∵OE⊥AB，∠BAC＝30°，OA＝1， ∴∠AOE＝60°，OE＝OA＝，AE＝EB＝OE＝， ∵AC是直径， ∴∠ABC＝90°， ∴∠C＝60°， ∵OC＝OB， ∴△OCB是等边三角形， ∵OF＝FC， ∴BF⊥AC， ∴∠AFB＝90°， ∵AE＝EB， ∴EF＝AB＝． （2）①证明：过点F作FG⊥AB于G，交OB于H，连接EH． ∵∠FGA＝∠ABC＝90°， ∴FG∥BC， ∴△OFH∽△OCB， ∴＝＝， 同理＝， ∴FH＝OE， ∵OE⊥AB．FH⊥AB， ∴OE