圆的综合题2021年一模（浙江杭州)

圆的综合题2021年一模（浙江杭州） 1．如图1，AB为⊙O的直径，P为AB延长线上的点，切点为D，CD⊥AB，C在⊙O上，连接CO (1)求证：PC为⊙O的切线； (2)如图2，M是线段PC上一点，若OM平分∠COP，OM与线段CE交于点N， ①求证：△OMP∽△ONC； ②若CM＝10，MN＝4，求ON的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】 （1）连接OD，由垂径定理得到AB垂直平分CD，所以PC＝PD，因为PD是⊙O切线，所以得到∠ODP＝90°，因为OC＝OD，得到∠OCD＝∠ODC，通过等量代换，可以算得∠OCP＝90°，即OC⊥CP，又OC是半径，从而证明PC是⊙O切线； （2）①利用AB⊥CD，得到∠ECP+∠MPO＝90°，又OC⊥PC，则∠OCD+∠ECP＝90°，证得∠MPO＝∠OCD，又OM平分∠COP，得到∠CON＝∠MOP，从而得到△OMP∽△ONC； ②利用△OMP∽△ONC，得到∠CNO＝∠OMP，利用等角的补角相等，得到∠CNM＝∠CMO，所以CM＝CN＝10，过C作CG⊥MN于G，解直角△CMG，得到∠CMG的三角函数值，在直角三角形CMO中，因为CM＝10，tan∠CMO＝2，从而求得CO和OM的值，ON即可求． （1） 连接OD，如图1， ∵PD为⊙O切线， ∴∠ODP＝90°， ∵AB⊥CD，且AB为⊙O直径， ∴AB垂直平分CD， ∴PC＝PD， ∴∠PCD＝∠PDC， 又∵OC＝OD， ∴∠OCD＝∠ODC， ∴∠OCP＝∠OCD+∠PCD＝∠ODC+∠PDC＝90°， ∴OC⊥PC， ∴PC为⊙O的切线； （2） ①∵AB⊥CD， ∴∠CEP＝90°， ∴∠ECP+∠MPO＝90°， 又∠OCD+∠ECP＝90°， ∴∠MPO＝∠OCD， 又OM平分∠COP， ∴∠CON＝∠MOP， ∴△OMP∽△ONC； 解：②过C作CG⊥OM于G， ∵△OMP∽△ONC， ∴∠CNO＝∠OMP， ∵180°﹣∠CNO＝180°﹣∠OMP， ∴∠CMO＝∠CNM， ∴CM＝CN＝10， ∵CG⊥MN， ∴NG＝MG＝， ∴， ∴tan∠CMN＝， 又在Rt△COM中， tan∠CMN＝， ∴OC＝2CM＝20， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查圆的综合问题，涉及到切线的判定及其性质、垂径定理、相似三角形的判定