圆的综合题2021年二模（浙江杭州）

圆的综合题2021年二模（浙江杭州） 1．如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交BC边于点E，交⊙O于点D，过点A作AF⊥BC于点F，设⊙O的半径为R，AF＝h． （1）过点D作直线MN∥BC，求证：MN是⊙O的切线； （2）求证：AB•AC＝2R•h； （3）设∠BAC＝2α，求的值（用含α的代数式表示）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）2cosα 【详解】 解：（1）证明：如图1，连接OD， ∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴＝， 又∵OD是半径，∴OD⊥BC， ∵MN∥BC，∴OD⊥MN，∴MN是⊙O的切线； （2）证明：如图2，连接AO并延长交⊙O于H， ∵AH是直径，∴∠ABH＝90°＝∠AFC， 又∵∠AHB＝∠ACF， ∴△ACF∽△AHB， ∴， ∴AB•AC＝AF•AH＝2R•h； （3）如图3，过点D作DQ⊥AB于Q，DP⊥AC，交AC延长线于P，连接CD， ∵∠BAC＝2α，AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD＝α，∴＝，∴BD＝CD， ∵∠BAD＝∠CAD，DQ⊥AB，DP⊥AC，∴DQ＝DP， ∴Rt△DQB≌Rt△DPC（HL），∴BQ＝CP， ∵DQ＝DP，AD＝AD， ∴Rt△DQA≌Rt△DPA（HL），∴AQ＝AP， ∴AB+AC＝AQ+BQ+AC＝2AQ， ∵cos∠BAD＝，∴AD＝，∴＝＝2cosα． （1）连接OD，由角平分线的性质可得∠BAD＝∠CAD，可得＝，由垂径定理可得OD⊥BC，可证OD⊥MN，可得结论；（2）连接AO并延长交⊙O于H，通过证明△ACF∽△AHB，可得，可得结论；（3）由“HL”可证Rt△DQB≌Rt△DPC，Rt△DQA≌Rt△DPA，可得BQ＝CP，AQ＝AP，可得AB+AC＝2AQ，由锐角三角函数可得AD＝，即可求解． 【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形或相似三角形是本题的关键． 2．如图，中，，过中点，且与、分别交于点、． （1）求证：直线是的切线； （2）延长交于点，连结、，求证：； （3）在（2）的条件下，若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】 （1）连接OC，证即可证直线AB是的切线； （2）由圆周角定理可得，，