二次函数综合题2021年一模（浙江杭州）

二次函数综合题2021年一模（浙江杭州） 1．已知二次函数与的图象开口朝上． (1)当a＝1时，讨论函数的增减性； (2)若与的图象有两个交点为A、B．请求出这两个交点的横坐标； (3)记与的最小值分别为m、n．若m＞0，n＞0，且mn＝4，求的值． 【答案】(1)当时，随x的增大而减小；当时，随x的增大而增大 (2)这两个交点的横坐标为-1，1 (3)9 【分析】 （1）根据二次函数的图象的性质回答即可； （2）根据＝，化简求解即可得到答案； （3）根据二次函数的最值及点的坐标特征求解即可得到答案． (1) 解：当a＝1时，， ∴对称轴， ∴当时，随x的增大而减小；当时，随x的增大而增大． (2) 解：由题可知， ， ， ， ， 与的图象有两个交点， ， 这两个交点的横坐标为-1，1． (3) 解：当时，有最小值，此时， ， ， ，即， ， 当时，有最小值，此时， ， ， ， ， ， ， ， 或， ， ． 【点睛】 本题考查的是二次函数的性质，整体思想以及一元二次方程的解法，掌握二次函数点的坐标特征及最值是解题的关键． 2．已知二次函数y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），其中x1＜x2． (1)若a＝1，x1＝1，x2＝4，求二次函数顶点坐标； (2)若x1+x2＝4，当x＝0时，y＞0，当x＝3时，y＜0，且m＜x2＜n（m，n为相邻整数），求m+n的值； (3)在（1）的条件下，将抛物线向左平移n（n＞0）个单位，记平移后y随着x的增加而减小的部分为P，若P和直线y＝x﹣n有交点，求n2﹣5n的最小值． 【答案】(1)（，﹣） (2)m+n＝7 (3)n2﹣5n的最小值为﹣． 【分析】 （1）由题意得，抛物线的表达式为y＝（x﹣1）（x﹣4）＝x2﹣5x+4＝（x﹣）2﹣，即可求解； （2）由题意得，抛物线的对称轴为直线x＝（x1+x2）＝2，则x＝3在对称轴的右侧，而x＝3时，y＜0，且m＜x2＜n（m，n为相邻整数），故x2在3和4之间，即可求解； （3）当P和直线y＝x﹣n有交点时，则当x≤﹣n时，直线在P的上方，进而求解． (1) 解：由题意得，抛物线的表达式为y＝（x﹣1）（x﹣4） ＝x2﹣5x+4 ＝（x﹣）2﹣， 故抛物线的顶点坐标为（，﹣）； (2) 解：由题意得，抛物线的对称轴为直线x＝（x1+x2）＝2， ∴x＝3在对称轴的右侧， ∵