二次函数综合题中考真题（浙江杭州）

二次函数综合题中考真题（浙江杭州） 1．在直角坐标系中，设函数（，是常数，）． （1）若该函数的图象经过和两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标． （2）写出一组，的值，使函数的图象与轴有两个不同的交点，并说明理由． （3）已知，当（，是实数，）时，该函数对应的函数值分别为，．若，求证． 【答案】（1），顶点坐标是；（2），，理由见解析；（3）见解析． 【分析】 （1）把点和代入二次函数解析式进行求解，然后把一般式化为顶点式即可求解顶点坐标； （2）根据二次函数的图象与系数的关系可直接进行求解； （3）由题意，得，，则有，进而问题可求解． 【详解】 解：（1）把点和代入得：， 解得， ∴，则化为顶点式为， ∴该函数图象的顶点坐标是； （2）例如，，此时； 因为， 所以函数图象与轴有两个不同的交点； （3）由题意，得，， ∵， ∴ ， 由题意，知， 所以． 【点睛】 本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 2．在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝x2+bx+a，y2＝ax2+bx+1（a，b是实数，a≠0）． （1）若函数y1的对称轴为直线x＝3，且函数y1的图象经过点（a，b），求函数y1的表达式． （2）若函数y1的图象经过点（r，0），其中r≠0，求证：函数y2的图象经过点（，0）． （3）设函数y1和函数y2的最小值分别为m和n，若m+n＝0，求m，n的值． 【答案】（1）y1＝x2﹣6x+2或y1＝x2﹣6x+3；（2）见解析；（3）m＝n＝0． 【分析】 （1）利用待定系数法解决问题即可． （2）函数y1的图象经过点（r，0），其中r≠0，可得r2+br+a＝0，推出1+＝0，即a（）2+b•+1＝0，推出是方程ax2+bx+1的根，可得结论． （3）由题意a＞0，可得m＝，n＝，根据m+n＝0，构建方程可得结论． 【详解】 解：（1）由题意，得到﹣＝3，解得b＝﹣6， ∵函数y1的图象经过（a，﹣6）， ∴a2﹣6a+a＝﹣6， 解得a＝2或3， ∴函数y1＝x2﹣6x+2或y1＝x2﹣6x+3． （2）∵函数y1的图象经过点（r，0），其中r≠0， ∴r2+br+a＝0， ∴1+＝0， 即a（）2+b•+1＝0， ∴是方程ax2+bx+1的根， 即函数y2的图象经过点（，0）． （3）由题意a＞0，∴m＝