二次函数综合题2020年二模（浙江杭州）

二次函数综合题2020年二模（浙江杭州） 1．已知二次函数y＝ax2﹣2ax． （1）二次函数图象的对称轴是直线x＝　 　； （2）当0≤x≤3时，y的最大值与最小值的差为4，求该二次函数的表达式； （3）若a＜0，对于二次函数图象上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t≤x1≤t+1，x2≥3时，均满足y1≥y2，请结合函数图象，直接写出t的取值范围． 【答案】（1）1；（2）y＝x2﹣2x或y＝﹣x2+2x；（3）﹣1≤t≤2 【分析】 （1）由对称轴是直线x＝，可求解； （2）分a＞0或a＜0两种情况讨论，求出y的最大值和最小值，即可求解； （3）利用函数图象的性质可求解． 【详解】 解：（1）由题意可得：对称轴是直线x＝＝1， 故答案为：1； （2）当a＞0时，∵对称轴为x＝1， 当x＝1时，y有最小值为﹣a，当x＝3时，y有最大值为3a， ∴3a﹣（﹣a）＝4． ∴a＝1， ∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣2x； 当a＜0时，同理可得 y有最大值为﹣a； y有最小值为3a， ∴﹣a﹣3a＝4， ∴a＝﹣1， ∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2+2x； 综上所述，二次函数的表达式为y＝x2﹣2x或y＝﹣x2+2x； （3）∵a＜0，对称轴为x＝1， ∴x≤1时，y随x的增大而增大，x＞1时，y随x的增大而减小，x＝﹣1和x＝3时的函数值相等， ∵t≤x1≤t+1，x2≥3时，均满足y1≥y2， ∴t≥﹣1，t+1≤3， ∴﹣1≤t≤2． 【点睛】 本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的综合应用，能利用分类思想解决问题是本题的关键． 2．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上． （1）求点B的坐标（用含的式子表示）； （2）求抛物线的对称轴； （3）已知点，．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围． 【答案】（1）点B的坐标为；（2）对称轴为直线;（3）当时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点. 【分析】 （1）向右平移2个单位长度，得到点； （2）A与B关于对称轴x=1对称； （3））①a＞0时，当x=2时，，当时，x=0或x=2，所以函数与AB无交点；②a＜0时，当y=2时，，或当时，； 【详解】 解：（1）∵抛物线与轴交于点A，∴令，得， ∴