二次函数综合题2020年一模（浙江杭州）

二次函数综合题2020年一模（浙江杭州） 1．我们不妨规定：关于x的反比例函数y＝称为一次函数y＝ax+b的“次生函数”，关于x的二次函数y＝ax2+bx﹣（a+b）称为一次函数y＝ax+b的“再生函数”． （1）求出一次函数y＝﹣x+7与其“次生函数”的交点坐标； （2）若关于x的一次函数y＝x+b的“再生函数”的顶点在直线y＝x+b上，求b的值； （3）若关于x的一次函数y＝ax+b与其“次生函数”的交点从左至右依次为点A，B，其“再生函数”经过点（﹣2，3），且与x轴从左至右依次交于点C，D，记四边形ACBD的面积为S，其中a＞2b＞0，判断是否为定值，若为定值，请说明理由：若不为定值，试确定其取值范围． 【答案】（1）（1，6），（6，1）；（2）b＝±﹣3；（3）不为定值，2＜＜． 【分析】 （1）两个解析式组成方程组，可求交点坐标； （2）先求顶点坐标，代入解析式可求b的值； （3）先求点A，点B，点C，点D坐标，由四边形的面积公式可求S，即可求解． 【详解】 解：（1）∵一次函数y＝﹣x+7的“次生函数”为y＝ ∴ ∴  或 ∴交点坐标为（1，6），（6，1） （2）∵一次函数y＝x+b的“再生函数”为y＝x2+bx﹣（1+b）， ∴顶点坐标为（﹣，﹣﹣1﹣b） ∵一次函数y＝x+b的“再生函数”的顶点在直线y＝x+b上， ∴﹣﹣1﹣b＝﹣+b ∴b＝±﹣3 （3）∵ ∴， ∴点A（﹣1﹣，﹣a），B（1，a+b） ∵y＝ax2+bx﹣（a+b）过点（﹣2，3） ∴3＝4a﹣2b﹣a﹣b ∴a＝1+b ∴y＝（1+b）x2+bx﹣（1+2b） ∵与x轴交于点C，点D， ∴0＝（1+b）x2+bx﹣（1+2b） ∴x＝1，x＝﹣ ∴点C（﹣，0），点D（1，0） ∵a＝1+b， ∴b＝a﹣1 ∴点A（﹣2+，﹣a），点B（1，2a﹣1），点C（﹣，0），点D（1，0） ∴S＝（2a﹣1+a）（1﹣）＝， ∴＝＝（﹣3）2 ∵a＝1+b，a＞2b＞0， ∴1+b＞2b ∴0＜b＜1， ∴1＜a＜2 ∴2＜＜ 【点睛】 本题考查函数的综合、一元二次方程组的解法、一元一次不等式的解法等知识，是重要考点，难度较难，掌握相关知识是解题关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2分别交x轴、y轴于点A、B．点C的坐标是（﹣1，0），抛物线y＝ax2