二次函数综合题2021年二模（浙江杭州）

二次函数综合题2021年二模（浙江杭州） 1．在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a上，其中x1＜x2． (1)求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）； (2)①当x＝a时，求y的值； ②若y1＝y2＝0，求x1的值（用含a的式子表示）． (3)若对于x1+x2＜﹣4，都有y1＜y2，求a的取值范围． 【答案】(1)对称轴为直线x＝a﹣1 (2)①y=0；②x1＝a﹣2 (3)a≥﹣1 【分析】 （1）根据抛物线的对称轴x＝﹣求解即可； （2）①将x＝a代入y＝﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a求解即可；②若y1＝y2＝0，则﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a＝0，解方程并根据x1＜x2，求出x1的值． （3）由题意得出x1＜﹣2，则只需讨论x1＜a﹣1的情况，分两种情况：①当a≥﹣1时，又有两种情况：x1＜x2＜a﹣1，x1＜a﹣1＜x2，分别结合二次函数的性质及x1+x2＜﹣4计算即可；②当a＜﹣1时，令x1＝a﹣1，x2＝﹣2，此时x1+x2＜﹣4，但y1＞y2，不符合题意． (1) 解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝a﹣1； (2) 解：①当x＝a时，y＝﹣a2+（2a﹣2）a﹣a2+2a ＝﹣a2+2a2﹣2a﹣a2+2a ＝0； ②当y1＝y2＝0时，﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a＝0， ∴x2﹣（2a﹣2）x+a2﹣2a＝0， ∴（x﹣a+2）（x﹣a）＝0， ∵x1＜x2， ∴x1＝a﹣2； (3) 解：①当a≥﹣1时， ∵x1＜x2，x1+x2＜﹣4， ∴x1＜﹣2，只需讨论x1＜a﹣1的情况． 若x1＜x2＜a﹣1， ∵x＜a﹣1时，y随着x的增大而增大， ∴y1＜y2，符合题意； 若x1＜a﹣1＜x2， ∵a﹣1≥﹣2， ∴2（a﹣1）≥﹣4， ∵x1+x2＜﹣4， ∴x1+x2＜2（a﹣1）． ∴x1＜2（a﹣1）﹣x2． ∵x＝2（a﹣1）﹣x2时，y1＝y2，x＜a﹣1时，y随着x的增大而增大， ∴y1＜y2，符合题意． ②当a＜﹣1时，令x1＝a﹣1，x2＝﹣2，此时x1+x2＜﹣4，但y1＞y2，不符合题意； 综上所述，a的取值范围是a≥﹣1． 【点睛】 本题属于二次函数的综合题，涉及二次函数的性质、求函数值、运用二次函数求不等式等知识点，灵活运用二次函数的