4．4 幂函数（讲解Word）2021-2022学年新教材高中数学必修第二册【赢在微点】轻松课堂（人教B版）

4．4　幂函数 课程 标准 1.通过实例，了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式； 2．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图像，理解它们的变化情况，了解幂函数的性质； 3．能运用幂函数的图像与性质解决相关问题。 　自主预习案明新知 稳健启程　　新知初步构建 知识点一、幂函数的概念 一般地，函数y＝xα称为幂函数，其中α为常数。 　 幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量。 知识点二、常见幂函数的图像与性质 解析式 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x 图像 定义域 R R R {x|x≠0} [0，＋∞) 值域 R [0，＋∞) R {y|y≠0} [0，＋∞) 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 非奇非 偶函数 单调性 在R上单调递增 在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增 在R上单调递增 在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减 在[0，)上单调递增 定点 (1,1) 微思考　y＝x0是幂函数吗？它的图像与常值函数y＝1的图像有什么区别？ 提示：y＝x0是幂函数，它的图像是函数y＝1的图像去掉点(0,1)。 知识点三、幂函数共有的性质 1．幂函数在(0，＋∞)上都有定义。 2．幂函数的图像过点(1,1)。 3．当α>0时，幂函数的图像都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增。 4．当α<0时，幂函数的图像都过点(1,1)，且在(0，)上单调递减。 微思考　当α<0时，幂函数的图像是否过原点？ 提示：α<0时，y＝xα在x＝0时无意义，图像不过原点。 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝x3＋2是幂函数。(×) (2)幂函数的图像在四个象限均有可能出现。(×) (3)当α＝0时，幂函数的图像是一条直线。(×) (4)当x>1时，函数y＝x2的图像总在函数y＝x3的图像的下方。(√) 2．做一做 (1)下列函数中不是幂函数的是(　　) A．y＝ B．y＝x3 C．y＝2x D．y＝x－1 答案　C (2)已知f (x)＝(m－1)x是幂函数，则m＝(　　) A．2 B．1 C．3 D．0 答案　A (3)已知幂函数f (x)＝xα的图像经过点(2,8)，则f (－2)＝________。 解析　由已知得f (2)＝8，即2α＝8，所以α＝3，f (x)＝x3，f (－2)＝(－2)3＝－8。 答案　－8 　合作探究案攻重难 细研深究　　萃取知识精华 类型一 幂函数的概念 【例1】　(1)在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析　形如y＝xα，α∈R的函数叫做幂函数，只有y＝＝x－2符合定义。 答案　B (2)已知函数f (x)＝(3－m)x2m－5是幂函数，则＝________。 解析　函数f (x)＝(3－m)×x2m－5是幂函数，则3－m＝1，解得m＝2，所以f (x)＝x－1，所以f (x)＝，所以f ＝＝2。 答案　2 判断函数是幂函数的依据 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即满足：①指数为常数；数为自变量；③系数为1。 【变式训练】　(1)已知点M在幂函数f (x)的图像上，则f (x)的解析式为(　　) A．f (x)＝x2 B．f (x)＝x－2 C．f (x)＝x D．f (x)＝x 解析　设幂函数的解析式为y＝xα，则3＝α，所以α＝－2。所以y＝x－2。 答案　B (2)若f (x)＝(m2－4m－4)xm是幂函数，则m＝　。 解析　因为f (x)是幂函数，所以m2－4m－4＝1，即m2－4m－5＝0，解得m＝5或m＝－1。 答案　5或－1 类型二 幂函数的图像及应用 【例2】　已知函数y＝xa，y＝xb，y＝xc的图像如图所示，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c<b<a B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b 解析　由幂函数的图像特征，知c<0，a>1,0<b<1。故c<b<a。 答案　A 解决幂函数图像问题应把握的两个原则 (1)依据图像高低判断幂的指数大小，相关结论为： ①在(0,1)上，幂的指数越大，幂函数图像越靠近x轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，幂的指数越大，幂函数图像越远离x轴(简记为指大图高)。 (2)依据图像确定幂的指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图像(类似于y＝x－1或y＝x或y＝x3)来判断。 【变式训练】　如图给出4个幂函数的图像，则图像与函数大致对应的是(　　) A．①y＝x，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1 B．①y＝x3，②y＝x2，