4．3 指数函数与对数函数的关系（讲解Word）2021-2022学年新教材高中数学必修第二册【赢在微点】轻松课堂（人教B版）

4．3　指数函数与对数函数的关系 课程 标准 1.了解反函数的定义，会求简单函数的反函数； 2．能综合利用指数函数、对数函数的性质与图像解决一些问题。 　自主预习案明新知 稳健启程　　新知初步构建 知识点一、反函数的定义 一般地，如果在函数y＝f (x)中，给定值域中任意一个__y__的值，只有唯一的__x__与之对应，那么__x__是__y__的函数，这个函数称为y＝f (x)的反函数。记作y＝f －1(x)。 微思考　函数y＝2x的反函数为y＝x2吗？ 提示：不是；因为y＝2x>0，所以x＝log2y，即f －1(x)＝log2x，所以函数y＝2x的反函数为f －1(x)＝log2x，而不是y＝x2。 知识点二、互为反函数的图像与性质 1．图像 y＝f (x)与y＝f －1(x)的图像关于直线y＝x。 2．性质 (1)y＝f (x)的定义域与y＝f －1(x)的值域相同，y＝f (x)的值域与y＝f －1(x)的定义域相同。 (2)如果y＝f (x)是单调函数，那么它的反函数y＝f －1(x)一定存在。此时，如果y＝f (x)是增函数，则y＝f －1(x)也是增函数；如果y＝f (x)是减函数，则y＝f －1(x)也是减函数。 知识点三、指数函数与对数函数的关系 1．关系：指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数。 2．图像特征：指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图像关于直线y＝x对称。 3．变化趋势：在区间[1，＋∞)内，指数函数y＝2x随着x的增长，函数值的增长速度逐渐加快，而对数函数y＝log2x的增长速度逐渐变得缓慢。 　 求反函数的两种方法 (1)可以通过对调y＝f (x)中的x与y，然后从x＝f (y)中求出y得到反函数y＝f －1(x)。 (2)从y＝f (x)反解得到x＝f －1(y)，然后把x＝f －1(y)中的x，y对调得到y＝f －1(x)。 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)一个函数的反函数可以等于原函数。(√) (2)对任意函数都有反函数。(×) (3)互为反函数的两个函数图像关于直线y＝x对称。(√) 2．做一做 (1)函数y＝x＋2，x∈R的反函数为(　　) A．x＝2－y B．x＝y－2 C．y＝2－x，x∈R D．y＝x－2，x∈R 答案　D (2)若f (x－1)＝x2－2x＋3(x≤1)，则f －1(4)＝(　　) A． B．1－ C．－ D．－2 答案　C (3)若函数y＝f (x)是函数y＝ax(a>0且a≠1)的反函数，其图像经过点，则a＝________。 解析　因为y＝f (x)的反函数为y＝ax(a>0且a≠1)，所以f (x)＝logax，又因为f (x)的图像过点，所以f ()＝loga()＝，所以a＝2，所以a＝。 答案　 　合作探究案攻重难 细研深究　　萃取知识精华 类型一 求函数的反函数 【例1】　(1)函数y＝＋1(x≥1)的反函数是(　　) A．y＝x2－2x＋2(x<1) B．y＝x2－2x＋2(x≥1) C．y＝x2－2x(x<1) D．y＝x2－2x(x≥1) 解析　因为y＝＋1(x≥1)，所以y≥1。反解x⇒x＝(y－1)2＋1⇒x＝y2－2y＋2(y≥1)。x，y互换得⇒y＝x2－2x＋2(x≥1)。故选B。 答案　B (2)函数f (x)＝的反函数是(　　) A．f －1(x)＝ B．f －1(x)＝ C．f －1(x)＝ D．f －1(x)＝ 答案　B 求函数的反函数的主要步骤 (1)从y＝f (x)中解出x＝φ(y)； (2)x，y互换； (3)标明反函数的定义域(即原函数的值域)，简记为“一解、二换、三写”。 【变式训练】　求出下列函数的反函数。 (1)y＝πx； (2)y＝x2(x≤0)。 解　(1)指数函数y＝πx的反函数为对数函数y＝logπx(x>0)。 (2)由y＝x2得x＝±，因为x≤0， 所以x＝－(y≥0)， 所以f －1(x)＝－(x≥0)。 类型二 互为反函数的图像与性质的应用 【例2】　(1)记f (x)＝log3(x＋1)的反函数为y＝f －1(x)，则方程f －1(x)＝8的解x＝________； 解析　因为f －1(x)＝8，所以x＝f (8)＝log3(8＋1)＝2。 答案　2 (2)若函数y＝的图像关于直线y＝x对称，则常数a的值等于________。 解析　可求得函数y＝的反函数是y＝，因为自身图像关于y＝x对称，即反函数是函数自身，所以＝，可得a＝－1。 答案　－1 (1)若一个函数的图像关于直线y