4.2.3 第2课时 对数函数的性质及应用（讲解Word）2021-2022学年新教材高中数学必修第二册【赢在微点】轻松课堂（人教B版）

第2课时　对数函数的性质及应用 课程 标准 1.进一步理解对数函数的性质； 2．能运用对数函数的性质解决相关问题。 　自主预习案明新知 稳健启程　　新知初步构建 知识点一、logaf (x)<logag(x)型不等式的解法 1．讨论a与1的关系，确定单调性。 2．转化为f (x)与g(x)的不等关系求解，且注意真数大于零。 知识点二、y＝logaf (x)型函数性质的研究 1．定义域：由f (x)>0解得x的取值范围，即为函数的定义域。 2．值域：在函数y＝logaf (x)的定义域中确定t＝f (x)的值域，再由y＝logat的单调性确定函数的值域。 3．单调性：在定义域内考虑t＝f (x)与y＝logat的单调性，根据同增异减法则判定(或运用单调性定义判定)。 4．奇偶性：根据奇偶函数的定义判定。 5．最值：在f (x)>0的条件下，确定t＝f (x)的值域，再根据a确定函数y＝logat的单调性，最后确定最值。 微思考　你能求出函数y＝log2(x2＋2x＋2)＋2的定义域、单调区间、值域吗？ 提示：因为x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1>0恒成立，所以函数y＝log2(x2＋2x＋2)＋2的定义域为R。 令t＝x2＋2x＋2，所以函数t＝x2＋2x＋2的单调递增区间为(－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1)。 故函数y＝log2(x2＋2x＋2)＋2的单调递增区间为(－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1)。 由以上的单调性可知，当x＝－1时，ymin＝2。 所以函数y＝log2(x2＋2x＋2)＋2的值域为[2，＋∞)。 　合作探究案攻重难 细研深究　　萃取知识精华 类型一 比较大小 【例1】　比较下列几组值的大小。 (1)loga3.1，loga5.2(a>0，且a≠1)； (2)log3π与logπ3； (3)log30.2与log40.2。 解　(1)当a>1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，又3.1<5.2，所以loga3.1<loga5.2； 当0<a<1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，又3.1<5.2，所以loga3.1>loga5.2。 综上所述，当a>1时，loga3.1<loga5.2；当0<a<1时，loga3.1>loga5.2。 (2)由中间量法可得log3π>1>logπ3。 (3)在同一坐标系中作出函数y＝log3x与函数y＝log4x的大致图像，由两不同底数对数函数图像间的位置关系，可得log30.2<log40.2。 对数值大小的比较 (1)同底数的利用函数的单调性。 (2)同真数的利用函数的图像。 (3)底数与真数都不同，可以利用中间值0与1。 【变式训练】　已知实数a＝log23，b＝0，c＝log0.32，则a，b，c的大小关系为(　　) A．b<c<a B．b<a<c C．c<a<b D．c<b<a 解析　因为a＝log23>log22＝1，b＝0＝1，c＝log0.32<log0.31＝0，所以c<b<a。 答案　D 类型二 解不等式 【例2】　解下列不等式。 (1)log2(2x＋3)≥log2(5x－6)； (2)loga(x－4)－loga(2x－1)>0(a>0且a≠1)。 解　(1)原不等式等价于解得<x≤3。所以不等式的解集为。 (2)原不等式可化为loga(x－4)>loga(2x－1)。 当a>1时，不等式等价于无解。 当0<a<1时，不等式等价于 解得x>4。 综上可知，当a>1时，解集为∅；当0<a<1时，解集为{x|x>4}。 两类对数不等式的解法 (1)形如logaf (x)<logag(x)的不等式 ①当0<a<1时，可转化为f (x)>g(x)>0； ②当a>1时，可转化为0<f (x)<g(x)。 (2)形如logaf (x)<b的不等式可变形为logaf (x)<b＝logaab ①当0<a<1时，可转化为f (x)>ab； ②当a>1时，可转化为0<f (x)<ab。 【变式训练】　已知0<x≤，4x<logax，则a的取值范围为________。 解析　由题意知a>0且a≠1。利用数形结合，由于y＝4x为增函数，若a>1，则y＝logax也是增函数，当0<x≤时，4x>0>logax，不满足题意；当0<a<1时，y＝logax单调递减，当x＝，且4＝loga时，解得a＝，从而<a<1。 答案　 类型三 对数型函数的最值与值域 【例3】　已知函数f (x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(a>0，且a≠1)。 (1)求函数f (x)的定义域和值域； (2)若函数f (x)有最小值为－2，求a的值。 解　(1)由得－3<x<1， 所以函数f (x