4.2.3 第1课时 对数函数的概念、性质与图像（讲解Word）2021-2022学年新教材高中数学必修第二册【赢在微点】轻松课堂（人教B版）

4．2.3　对数函数的性质与图像 第1课时　对数函数的概念、性质与图像 课程 标准 1.理解对数函数的概念； 2．初步掌握对数函数的图像及性质； 3．能利用对数函数性质解决相关问题。 稳健启程　　新知初步构建 自主预习案明新知 知识点一、对数函数的概念 一般地，函数y＝logax称为对数函数，其中a是常数，a>0且a≠1。 微思考　函数y＝log32x，y＝log3(x＋1)是对数函数吗？ 提示：两函数均不符合对数函数的定义式y＝logax(a>0且a≠1)的形式，故均不是对数函数。 知识点二、对数函数的图像与性质 定义 y＝logax(a>0且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图像 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 在(0，＋∞)上是 增 函数 在(0，＋∞)上是 减 函数 共点性 图像过点(1,0)，即loga1＝0 函数值 特点 x∈(0,1)时， y∈(，0)； x∈[1，＋∞)时， y∈[0，＋∞) x∈(0,1)时， y∈(0，＋∞)； x∈[1，＋∞)时， y∈(－∞，0] 对称性 函数y＝logax与y＝logx的图像关于x轴对称 奇偶性 非奇非偶函数 (1)对数函数单调性的记忆口诀： 对数增减有思路，函数图像看底数； 底数要求大于0，但等于1却不行； 底数若是大于1，图像从左往右增； 底数0到1之间，图像从左往右减； 无论函数增或减，图像都过(1,0)点。 (2)在对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)中，①若0<a<1且0<x<1，或a>1且x>1，则有y>0；②若0<a<1且x>1，或a>1且0<x<1，则有y<0。以上性质可以简称为：同区间为正，异区间为负。有了这个规律，我们判断对数函数值的正负就很简单了。 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)在区间(0，＋∞)上是增函数。(×) (2)当a>1时，若0<x<1，则logax<0。(√) (3)函数y＝logx与y＝logax(a>0且a≠1)的图像关于y轴对称。(×) 2．做一做 (1)下列函数是对数函数的是(　　) A．y＝log3(x＋1) B．y＝loga(2x)(a>0且a≠1) C．y＝logax2(a>0且a≠1) D．y＝lnx 解析　对数函数为形如y＝logax(a>0且a≠1)的函数，只有D 答案　D (2)若函数y＝logax的图像如图所示，则a的值可能是(　　) A．0.5　　B．2　　C．e　　D．π 解析　由对数函数图像可知A正确。 答案　A (3)函数f (x)＝log2(x－1)的定义域是 。 答案　(1，＋∞) (4)已知y＝ax在R上是增函数，则y＝logax在(0，)上是 函数。(填“增”或“减”) 答案　增 细研深究　　萃取知识精华 合作探究案攻重难 类型一 对数函数的定义 【例1】　若函数f (x)＝log(a＋1)x＋(a2－2a－8)是对数函数，则a＝ 。 解析　由题意可知解得a＝4。 答案　4 判断对数函数的条件 (1)系数为1。 (2)底数大于0且不等于1。 (3)真数只是自变量x。 三者缺一不可。 【变式训练】　下列函数中，是对数函数的为(　　) A．y＝logx2　　　 B．y＝logax(a∈R) C．y＝log8x D．y＝log2(x＋1) 解析　因为A中自变量出现在底数上，所以A不是对数函数；因为B中底数a∈R不能保证a>0且a≠1，所以B不是对数函数；因为D的真数为x＋1，所以D也不是对数函数；只有C符合对数函数的定义。故选C。 答案　C 类型二 求对数型函数的定义域 【例2】　求下列函数的定义域： (1)y＝； (2)y＝。 解　(1)要使函数式有意义，需解得x<4，且x≠3，所以函数y＝的定义域为(－∞，3)∪(3,4)。 (2)要使函数有意义，需满足 即解得－1<x<0，因此函数y＝的定义域为(－1,0)。 求对数型函数定义域的注意事项 求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数大于零且不等于1。 【变式训练】　求下列函数的定义域： (1)y＝； (2)y＝log2x－1(－4x＋8)。 解　(1)由题意得 即所以x≤1。 即y＝的定义域为{x|x≤1}。 (2)由题意得解得 所以y＝log2x－1(－4x＋8)的定义域为。 类型三 对数型函数的图像问题 命题方向1：图像的识别 【例3】　如图所示，曲线是对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图像，已知a取，，，，则相应于C1，C2，C3，C4的a