4.2.2 对数运算法则（讲解Word）2021-2022学年新教材高中数学必修第二册【赢在微点】轻松课堂（人教B版）

4．2.2　对数运算法则 课程 标准 1.掌握积、商、幂的对数运算法则，理解其推导过程和成立条件； 2．掌握换底公式及其推论； 3．能熟练运用对数的运算法则进行化简求值。 稳健启程　　新知初步构建 自主预习案明新知 知识点一、对数运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，α∈R。那么 (1)loga(MN)＝logaM＋logaN。推广：loga(N1N2…Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk。 (2)logaMα＝αlogaM。 (3)loga＝logaM－logaN。 对数的每一条运算法则，都要注意只有当式子中所有的对数符号都有意义时，等式才成立，如log2[(－3)×(－5)]＝log2(－3)＋log2(－5)是错误的。 知识点二、对数换底公式 logab＝(a>0且a≠1，b>0，c>0且c≠1)。 由换底公式得到的常用结论 (1)logab×logbc×logca＝1。 (2)loganbn＝logab。 (3)loganbm＝logab。 (4)logb＝－logab。 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)logam×logan＝loga(m＋n)。(×) (2)log2(16－8)＝log216－log28。(×) (3)＝log48。(√) 2．做一做 (1)以下运算正确的是(　　) A．lg2×lg3＝lg6 B．(lg2)2＝lg4 C．lg2＋lg3＝lg5 D．lg4－lg2＝lg2 答案　D (2)若lg5＝a，lg7＝b，用a，b表示log75等于(　　) A．a＋b B．a－b C． D． 解析　log75＝＝。故选D。 答案　D (3)lg0.01＋log216的值是 。 解析　lg0.01＋log216＝lg10－2＋log224＝－2＋4＝2。 答案　2 细研深究　萃取知识精华 合作探究案攻重难 类型一 用对数运算法则求值 【例1】　计算下列对数式的值。 (1)log2＋log212－log242； (2)lg52＋lg8＋lg5×lg20＋(lg2)2。 解　(1)原式＝log2＋log2－log2＝log2＝log2＝log22＝－。 (2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5×(1＋lg2)＋(lg2)2＝2(lg5＋lg2)＋lg5＋lg2×(lg2＋lg5)＝2＋lg5＋lg2＝3。 对数式化简与求值的原则和方法 (1)基本原则： 对数的化简求值一般采用公式的正用或逆用，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行。 (2)两种常用的方法： ①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的 ②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的 (3)要注意一些常见的结论，如lg2＋lg5＝1，lg＝－lga(a>0)等。 【变式训练】　(1)已知ab>0，有下列四个等式： ①lg(ab)＝lga＋lgb；②lg＝lga－lgb；＝lg；④lg(ab)＝， 其中正确的是 。 解析　①②式成立的前提条件是a>0，b>0；④式成立的前提条件是ab≠1。只有③式恒成立。 答案　③ (2)计算：①log2.56.25＋lg＋ln； ②。 解　①log2.56.25＋lg＋ln＝log2.52.52＋lg10－2＋lne＝2－2＋＝。 ②原式＝ ＝＝。 类型二 换底公式的应用 【例2】　(1)已知log189＝a,18b＝5，求log3645的值； (2)计算lg－lg＋lg12.5－log89×log98的值。 解　(1)解法一：因为log189＝a,18b＝5， 所以log185＝b。 于是log3645＝＝＝＝＝。 解法二：因为log189＝a,18b＝5，所以log185＝b。 于是log3645＝＝＝。 解法三：因为log189＝a,18b＝5， 所以lg9＝alg18，lg5＝blg18。 所以log3645＝＝＝＝＝。 (2)原式＝lg－×＝lg10－1＝0。 (1)应用换底公式表示已知对数的两个策略 (2)利用换底公式进行化简求值的技巧及常见处理方式 ①技巧：“化异为同”，即将不同底的对数尽量化为同底的对数来计算。 ②常见的三种处理方式： a．借助运算性质：先利用对数的运算法则及性质进行部分运算，最后再换成同底求解。 b．借助换底公式：一次性地统一换为常用对数(或自然对数)，再化简、通分、求值。 c．利用对数恒等式或常见结论：有时可熟记一些常见结论，这样能够提高解题效率。 【变式训练】　计算下列各式的值。 (1)log23×log34×log42； (2)(log23＋log43)(log34＋log94)。 解　(1)log23×log34×log42＝××＝