4.2.1 对数运算（讲解Word）2021-2022学年新教材高中数学必修第二册【赢在微点】轻松课堂（人教B版）

4．2　对数与对数函数 4．2.1　对数运算 课程 标准 1.理解对数的概念，掌握对数的基本性质； 2．掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程，培养数学运算核心素养。 稳健启程　　新知初步构建 自主预习案明新知 知识点一、对数的概念 1．对数 (1)对数的有关概念。 (2)对数logaN的底数a的取值范围是a>0且a≠1。 2．对数恒等式 alogaN＝ N ，logaab＝b。 3．对数的性质 (1) 0 和负数没有对数，即N > 0。 (2)1的对数是 0 ，即loga1＝ 0 。 (3)底数的对数等于 1 ，即logaa＝ 1 。 微思考　对数恒等式alogaN＝N(a>0且a≠1，N>0)，为什么？ 提示：因为由x＝logaN，可得ax＝N，所以将x＝logaN代入上式，可得alogaN＝N。 知识点二、常用对数与自然对数 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)因为(－2)2＝4，所以2＝log(－2)4。(×) (2)以e为底的对数叫做自然对数。(√) (3)对数log39和log93的意义一样。(×) (4)logaN是loga与N的乘积。(×) 2．做一做 (1)若log3x＝3，则x＝(　　) A．1 B．3 C．9 D．27 答案　D (2)在b＝loga(5－a)中，实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，0)∪(5，＋∞) B．(0，1)∪(1，5) C．(0，1) D．(1，5) 解析　由已知得 解得0<a<1或1<a<5。故选B。 答案　B (3)把对数式x＝log527改写为指数式为 。 解析　对数式x＝log527改写为指数式为5x＝27。 答案　5x＝27 细研深究　　萃取知识精华 合作探究案攻重难 类型一 对数概念的应用 【例1】　(1)在对数式y＝log(x－2)(4－x)中，实数x的取值范围是 。 解析　由题意可知解得2<x<4且x≠3。 答案　(2,3)∪(3,4) (2)将下列指数式、对数式互化。 ①54＝625；②log216＝4；③10－2＝0.01；④log125＝6。 解　①由54＝625，得log5625＝4。 ②由log216＝4，得24＝16。 ③由10－2＝0.01，得lg0.01＝－2。 ④由log125＝6，得()6＝125。 指数式与对数式互化的思路 (1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式。 (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式。 【变式训练】　(1)2－3＝化为对数式为(　　) A．log2＝－3 B．log (－3)＝2 C．log2＝－3 D．log2(－3)＝ 解析　根据对数的定义可知选C。 答案　C (2)方程log3(2x－1)＝1的解为x＝ 。 解析　因为2x－1＝3，所以x＝2。 答案　2 类型二 指数式与对数式的互化及求值 【例2】　(1)设5log5(2x－1)＝25，则x的值等于(　　) A．10 B．13 C．100 D．±100 解析　因为5 log5(2x－1)＝2x－1＝25，所以x＝13。故选B。 答案　B (2)y＝log(x－3)(4－x)中x的取值范围是(　　) A．(3,4) B．(3,4] C．[3,4) D．[3,4] 解析　由得解得3<x<4。所以x的取值范围是(3,4)。 答案　A (1)对数恒等式alogaN＝N。 因为x＝logaN，所以ax＝N，将x＝logaN代入ax＝N，即得alogaN＝N。 (2)对数式有意义的条件为 根据题目条件列出不等式(组)求解即可。 【变式训练】　(1)计算：πlogπ3＝ 。 答案　3 (2)求log(x2＋1)(－3x＋8)中x的取值范围。 解　由已知得所以。 类型三 对数相关结论的应用 【例3】　求下列各式中的x的值。 (1)log2(log3x)＝0； (2)log5(log2x)＝1； (3)log＝x。 解　(1)因为log2(log3x)＝0，所以log3x＝1，所以x＝3。 (2)因为log5(log2x)＝1，所以log2x＝5，所以x＝25＝32。 (3)＝＝＋1，所以log＝log(＋1)＝1，所以x＝1。 求解此类问题时，应根据对数的两个结论loga1＝0和logaa＝1(a>0且a≠1)进行变形求解，若已知对数值求真数，则可将其化为指数式运算。 【变式训练】　已知log2(log3(log4x))＝log3(log4(log2y))＝0，求x＋y的值。 解　因为log2(log3(log4x))＝0， 所以log3(log4x)＝1，所以log4x＝3， 所以x＝4