4.1.2 第2课时 指数函数的性质及应用（讲解Word）2021-2022学年新教材高中数学必修第二册【赢在微点】轻松课堂（人教B版）

第2课时　指数函数的性质及应用 课程 标准 1.会利用指数函数单调性比较两个幂的大小； 2．会利用指数函数的单调性解指数不等式； 3．掌握指数函数的复合函数单调区间的求法。 细研深究　　萃取知识精华 合作探究案攻重难 类型一 比较两数大小问题 【例1】　比较下列各组数的大小： (1)1.82.2与1.83； (2)0.7－0.3与0.7－0.4； (3)1.90.4与0.92.4。 解　(1)令y＝1.8x，因为1.8>1，所以函数y＝1.8x为增函数。因为2.2<3，所以1.82.2<1.83。 (2)令y＝0.7x，因为0.7<1，所以函数y＝0.7x为减函数。因为－0.3>－0.4，所以0.7－0.3<0.7－0.4。 (3)因为1.90.4>1.90＝1,0.92.4<0.90＝1，所以1.90.4>0.92.4。 比较幂的大小的常用方法 【变式训练】　(1)已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>b>c　B．b>a>c　C．c>b>a　D．c>a>b 解析　由指数函数单调性可知0.80.9<0.80.7<0.80＝1,1.20.8>1.20＝1，故c>a>b。故 答案　D (2)比较下列各题中两个值的大小： ①2.53,2.55.7；②1.5－7，4；③2.3－0.28,0.67－3.1。 解　①令y＝2.5x，则其为增函数。因为3<5.7，故2.53<2.55.7。 ②因为1.5－7＝7，4＝12，令y＝x，则其为减函数。因为7<12，所以7>12，即1.5－7>4。 ③由指数函数的性质知2.3－0.28<2.30＝1， 0．67－3.1>0.670＝1，所以2.3－0.28<0.67－3.1。 类型二 解简单的指数不等式 【例2】　解下列不等式： (1)3x2－2x－4≥； (2)a2x＋1－a－3x>0(a>0，且a≠1)。 解　(1)因为3x2－2x－4≥， 所以3x2－2x－4≥3－1。 所以x2－2x－4≥－1，即x2－2x－3≥0， 解得x≥3或x≤－1。 所以不等式的解集为{x|x≥3或x≤－1}。 (2)因为a2x＋1－a－3x>0， 所以a2x＋1>a－3x。 当a>1时，原不等式可化为2x＋1>－3x， 即x>－； 当0<a<1时，原不等式可化为2x＋1<－3x， 即x<－。 综上，当a>1时，原不等式的解集为； 当0<a<1时，原不等式的解集为。 指数不等式的解法 (1)形如ax>ay的不等式：可借助y＝ax的单调性求解。如果a的值不确定，需分0<a<1和a>1两种情况讨论。 (2)形如ax>b的不等式：注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解。 (3)形如ax>bx的不等式：可借助图像求解，也可转化为x>1求解。 【变式训练】　已知(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x，求x的取值范围。 解　因为a2＋a＋2＝2＋>1，又因为(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x，所以x>1－x，所以x>。 类型三 与指数函数相关的函数的单调性 【例3】　求函数y＝－x2＋x＋2的单调递增区间、值域。 解　令t＝－x2＋x＋2， 则y＝t， 因为t＝－2＋， 可得t的减区间为， 因为函数y＝t在R上是减函数， 所以函数y＝－x2＋x＋2的单调递增区间为； 又t≤，所以t≥ ， 所以函数y＝－x2＋x＋2的值域为。 令u＝f (x)，x∈[m，n]，如果复合的两个函数y＝au与u＝f (x)的单调性相同，那么复合后的函数y＝af (x)在[m，n]上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，那么复合后的函数y＝af (x)在[m，n]上是减函数。 【变式训练】　(1)求函数y＝x2－2x＋3的单调； (2)求函数y＝2x－8×x＋17的单调区间。 解　(1)令t＝x2－2x＋3，则由二次函数的性质可知该函数在(－∞，1]上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，且y＝t为减函数，故函数y＝x2－2x＋3的单调递增区间为(－∞，1]，单调递减区间为(1，)。 (2)设t＝x(t>0)，则y＝t2－8t＋17＝(t－4)2＋1在(0,4]上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增，令x≤4，得x≥－2。所以当－2≤x1<x2时，4≥x1>x2，即4≥t1>t2，所以t－8t1＋17<t－8t2＋17，所以y＝2x－8×x＋17的单调递增区间为[－2，＋∞)，同理可得单调递减区间为(－∞，－2)。 类型四 指数函数性质的综合应用 【例4】　已知定义在R上的函数f (x)＝a＋是奇函数。 (1)求a的值； (2)判断f (x)的单调性(不需要写出理由)； (3)若对任意的t∈R，不等式f (t2－2t)＋f (2t2－k)