4.1.1 第2课时 实数指数幂（讲解Word）2021-2022学年新教材高中数学必修第二册【赢在微点】轻松课堂（人教B版）

第2课时　实数指数幂 课程 标准 1.了解无理数指数幂的概念； 2．掌握实数指数幂的运算性质，并能对代数式进行化简或求值，培养数学运算核心素养。 稳健启程　　新知初步构建 自主预习案明新知 知识点一、无理指数幂 一般地，无理指数幂at(a>0，t为无理数)是一个确定的实数。有理指数幂的运算法则同样适用于无理指数幂。 对于任意实数t，都有1t＝1；0的正无理数指数幂为0,0的负无理数指数幂没有意义。 知识点二、实数指数幂的运算 (1)asat＝as＋t，(as)t＝ast，(ab)s＝asbs。 (2)拓展：＝as－t，s＝，其中a>0，b>0，s，t∈R。 记忆口诀：同底数幂乘除，指数加减；幂的乘方，指数相乘；积商的幂等于幂的积商。 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)0的任何分数指数幂都等于0。(×) (2)a＝a。(×) (3)2∈R。(√) (4) ＝(x，y≠0)。(√) 2．做一做 (1)计算＋的值为(　　) A．5 B．－1 C．2π－5 D．5－2π 解析　＋＝2－π＋|3－π|＝2－π＋π－3＝－1。 答案　B (2)()4＝ 。 解析　()4＝[((a9) )]4＝a＝a2。 答案　a2 (3)计算4×2的结果是 。 解析　4×2＝2×2 ＝2＝24＝16。 答案　16 细研深究　　萃取知识精华 合作探究案攻重难 类型一 无理指数幂的运算 【例1】　(1)3×27； (2)(1＋)[(－－1)－2() ]＋() ×() 。 解　(1)3×27＝3×(33) ＝3×3＝3＝32＝9。 (2)(1＋)[(－－1)－2() ]＋() ×() ＝(1＋)[(＋1)－2() ]＋() ＝(1＋)(＋1) ()＋()2 ＝(1＋)(＋1)－1() ＋2 ＝() ＋2＝2＋2。 无理指数幂运算与有理指数幂的运算一样按运算法则进行。 【变式训练】　求值：(1)4＋1×2×8； (2)(5)＋2×2。 解　(1)4＋1×2×8＝2＝8。 (2)(5)＋2×2＝5＋2＝25＋2＝27。 类型二 实数指数幂的应用 【例2】　计算下列各式(式中字母都是正数)： (1) ； (2)。 解　(1)原式＝5××x×y＝24x0y＝24y。 (2)原式＝＝＝m＋m。 (1)化简结果的一个要求和两个不能 (2)幂的运算的常规方法 ①化负指数幂为正指数幂。 ②化根式为分数指数幂。 ③化小数为分数进行运算。 【变式训练】　化简：(1)÷； (2)－。 解　(1)÷＝ab÷(ab)÷[(a－1b)÷(ba)]＝ab÷＝ab÷ab＝ab。 (2)原式＝－ ＝－ ＝a－a＝0。 类型三 指数幂的综合运用 【例3】　解方程： (1)4x＋2x－2＝0； (2)81×32x＝x＋2。 解　(1)原方程可化为(2x)2＋2x－2＝0， 则2x＝1或2x＝－2(舍去)，所以x＝0。 (2)因为81×32x＝x＋2， 所以32x＋4＝3－2(x＋2)， 即2x＋4＝－2(x＋2)，解得x＝－2。 (1)利用指数幂的运算法则，两端化为同底数的幂，从而利用指数相等解方程。 (2)把未知数为指数的幂看作一个新未知数，用换元法求解。 　　　　　 　　　　　　　　　 【变式训练】　解方程：22x＋2＋3×2x－1＝0。 解　因为22x＋2＋3×2x－1＝0， 所以4×(2x)2＋3×2x－1＝0。 令t＝2x，则方程可化为4t2＋3t－1＝0，解得t＝或t＝－1，得2x＝或2x＝－1(舍去)，解得x＝－2。 核心素养达成 明易错·误区警示 忽视被开方数的符号致错 【典例】　计算＋的值为 。 【易错解法】　＋＝1＋＋1－＝2。故填2。 【易错探因】　是偶次算术根，因而结果非负，而1－<0，导致出错。 【正确解答】　＋＝1＋＋|1－|＝2。 【答案】　2 即时训练　巩固当堂所学 当堂检测案提素养 1．(多选)下列等式一定成立的有(　　) A．＝2a B．||＝ C．－3＝ D．＝ 解析　A中，＝×a≠2a；B中，||＝，＝＝，成立；C中，＝×＝－3，成立；D中，＝＝，成立。故选BCD。 答案　BCD 2．5－2的算术平方根是(　　) A．＋ B．－ C．－ D．±(－) 解析　因为[±(－)]2＝(－)2＝5－2，所以5－2的算术平方根为－。故选B。 答案　B 3．已知a＋b＝m，ab＝m，其中a>0，则a3＋b3＝(　　) A．0 B． C．－ D． 解析　a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＝m [(a＋b)2－3ab]＝m×＝。故选B。 答案　B 4．(0.001) ＋(27) －＋－1.5＝ 。 解析　原式＝(10－3) ＋(33) －(2－2) ＋(3－2)