4.1.1 第1课时 有理指数幂（讲解Word）2021-2022学年新教材高中数学必修第二册【赢在微点】轻松课堂（人教B版）

第四章　　指数函数、对数函数与幂函数 4．1　指数与指数函数 4．1.1　实数指数幂及其运算 第1课时　有理指数幂 课程 标准 1.理解n次方根及根式的概念； 2．能运用根式运算性质进行化简、求值，培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力； 3．体会分类讨论思想的运用。 稳健启程　　新知初步构建 自主预习案明新知 知识点一、n次方根、根式 1．a的n次方根的定义：一般地，给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得xn＝a，则x称为a的n次方根。 2．a的n次方根的表示 n的分类 a的n次方根的表示符号 a的取值范围 n为奇数 R n为偶数 ± [0，＋∞) 3.根式的定义：当有意义时，称为根式，n称为根指数，a称为被开方数。 一个数有无n次方根，先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n为奇数或偶数这两种情况。 4．根式的性质 (1)()n＝ a (n∈N*且n>1)。 (2)＝ 0 。 (3)＝ a (n为大于1的奇数)。 (4)＝|a|＝(n为大于1的)。 微思考　与()n有何区别？ 提示：①是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制。其算法是对a先乘方，再开方(都是n次)，结果不一定等于a，当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝|a|＝ ②()n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶决定。其算法是对a先开方，后乘方(都是n次)，结果恒等于a。 知识点二、分数指数幂 1．意义 分数指数幂 正分数指数幂 ①a＝(a>0)； ②a＝()m＝(a>0，m，n∈N*，且为既约分数) 负分数指数幂 a＝(a>0，m，n∈N*，且为既约分数) 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 2.运算法则 ①前提：a>0，b>0，s，t都是有理数。 ②法则：asat＝as＋t；(as)t＝ast；(ab)s＝asbs。 (1)分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂a不可理解为个a相乘，它是根式的一种新的写法。在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已。 (2)正数的负分数指数幂在有意义的情况下，总表示正数，而不是负数。把根式化成分数指数幂的形式时，不要轻易对进行约分。 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)＝()n。(×) (2)只要根式有意义，都能化成分数指数幂的形式。(√) (3)分数指数幂a可以理解为个a相乘。(×) (4)当n为偶数，且a≥0时，≥0。(√) (5)实数a的n次方根有且只有一个。(×) 2．做一做 (1)已知x6＝5，则x等于(　　) A． B． C．－ D．± 答案　D (2)根式化为分数指数幂为(　　) A．m B．m C．m D．m 答案　B (3)下列说法正确的有 。 ①＝2；②＝±3；③＝0；④16的4次方根是±2。 答案　③④ (4)若有意义，则实数x的取值范围是 。 解析　因为有意义，所以x－3≥0，x≥3，即x的取值范围是[3，＋∞)。 答案　[3，＋∞) 细研深究　　萃取知识精华 合作探究案攻重难 类型一 根式的概念 【例1】　(1)25的平方根为 ，－27的3次方根为 。 答案　±5　－3 (2)已知＝a－1，求a的取值范围。 解　因为＝＝＝a－1，所以a－1≥0，即a≥1。 (1)任意实数的奇次方根只有一个，正数的偶次方根有两个且互为相反数。 (2)对于，当n为偶数时，只有a≥0才有意义。 【变式训练】　(1)设f (x)＝，若0<a≤1，求f ； (2)求使等式＝(3－a)成立的实数a的取值范围。 解　(1)f ＝＝＝＝。 因为0<a≤1，所以a≤，所以f ＝－a。 (2) ＝ ＝|a－3|， 要使|a－3|＝(3－a)×成立， 需解得－3≤a≤3， 即实数a的取值范围为[－3,3]。 类型二 运用根式的性质化简与运算 【例2】　化简下列各式。 (1)； (2)(a>b)； (3)若－有意义，化简＋2。 解　(1)＝|3－π|＝3。 (2)＝|a－b|＝a－b(a>b)。 (3)由已知则≤x≤2。所以＋2＝＋2|x－2|＝|2x－1|＋2|x－2|＝2x－1＋2(2－x)＝3。 【互动探究】　将例2(3)中－ 条件换成0<x≤。化简＋。 解　原式＝＋＝|2x－1|＋2|x－2|＝1－2x＋2(2－x)＝5－4x。 (1)n为奇数时，()n＝＝a，a∈R；n为偶数时，a≥0，()n有意义，且()n＝a；a为任意实数时，均有意义，且＝|a|。 (2)当n为偶数，先化为|a|，再由a的正负去掉绝对值符号。 【变式训练】　求下列各式的值。