笔记&必记 第二章 平面解析几何-【志鸿优化训练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教B版2019)

☑笔记&必记 第二章 平面解析几何 2.1坐标法 一、双基点击 1.数轴及向量概念 (1)数轴：一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，或者说在这条直线上建立了直线 坐标系. (2)向量的概念 ①向量 位移是一个既有大小又有方向的量，通常叫做位移向量，简称为向量. ②相等向量 数轴上同向且等长的向量，叫做相等向量， ③向量的坐标 用实数表示数轴上的一个向量，这个实数叫做向量的坐标或数量： 2.数轴上的基本公式 在数轴上，如果点A作一次位移到点B,接着由点B再作一次位移到点 位移的和 C,则位移AC叫做位移A官与位移BC的和，记作AC-A+BC 向量坐标运算法则 对数轴上任意三点A,B,C,都具有关系AC-AB+Bd 向量坐标表示及距离公式 已知数轴上两点A(x1),B(x2),则AB=x一1，AB=x2一x1 两点间距离公式及中点公式 1.已知在平面直角坐标系中的两点A(xy),B(22),则有AB=√/(2一)+(2一M). 2.已知在平面直角坐标系中的两点A(x1,y),B(x2,y2),设点M(x,y)是线段AB的中点，则有 x=十 2 ,y=业十 2 二、规律方法 1.建立平面直角坐标系策略 (1)要使尽可能多的已知点、直线落在坐标轴上； (2)如果图形中有互相垂直的两条直线，则考虑其作为坐标轴： (3)考虑图形的对称性：可将图形的对称中心作为原点、将图形的对称轴作为坐标轴. 2.建立不同的直角坐标系，不影响最终的结果 3.建立直角坐标系的常见技巧 (1)对于平面几何中证明边相等（或不等）、求最值等类型的题目，可以建立恰当的平面直角 坐标系，用坐标法将几何问题代数化，使复杂的逻辑思维转化为简单的代数运算，从而将复杂问 题简单化. (2)在建立平面直角坐标系时，要尽可能地将平面几何图形中的点、线放在坐标轴上，但不能把任 意点作为特殊点 三、分类典例赏析 类型一数轴上的点与实数间的关系 【例2一1一1】(1)若点P(x)位于点M(一2)，N(3)之间，求x的取值范围； (2)试确定点A(a),B(b)的位置关系. 【解】(1)由题意可知，点M(-2)位于点N(3)的左侧，且点P(x)位于，点M(-2),N(3)之间， 所以一2<x3. (2)确定两，点的位置关系，需要讨论实数a,b的大小关系：当a>b时，点A(a)位于点B(b)的右 8 ·数学 第二章平面解析几何 侧；当a<b时，点A(a)位于点B(b)的左侧；当a=b时，点A(a)与点B(b)重合. 【方法点拨】数轴上的点与实数之间是一一对应的关系，所以，点的坐标的大小决定彼此的相互位 置，显然右边的点的坐标要大于左边的点的坐标 类型二数轴上两点的距离 【例2一1一2】已知数轴上点A,B,P的坐标分别为一1,3，x. 当点P与点B的距离是点P与点A的距离的3倍时，求点P的坐标x. 【解】由题意知PB=3PA, 即x一3=3x十1，则3(.x十1)=x一3，① 或3(x十1)=-(x-3).② 解①得x=一3：解②得x=0.所以点P的坐标为一3或0. 【方法技巧】数轴上的基本公式应用思路与方法 1.已知向量AB,BC,AC中的两个的坐标，求另外一个的坐标时，使用AC=AB+BC求解. 2.已知向量的起点和终点的坐标，求向量坐标，使用AB=xB一A求解. 3.已知数轴上两，点间的距离时，使用AB=x2一x1求解. 类型三两点的距离公式的应用 【例2一1一3】已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(-a,0),B(a,0),C(0,w3a).求证：△ABC是 等边三角形， 【证明】由两点的距离公式得 |AB|=√(a+a)+(0-0)=2|a, 1BC|=W/(0-a)2+(W3a-0)2=2|al, 1CA|=√(-a-0)2+(0-V3a)2=21al. ∴.|AB=|BC=|CA, 故△ABC是等边三角形！ 【反思与感悟】根据边长判断三角形形状的结论主要有以下几种：等腰、等边、直角、等腰直角三角 形等.在进行判断时，一定要得出最终结果，比如一个三角形是等腰直角三角形，若我们只通过两边长 相等判定它是等腰三角形则是不正确的. 2.2直线及其方程 2.2.1直线的倾斜角与斜率 一、双基点击 1.倾斜角的相关概念 (1)①前提：直线l与x轴相交： ②一个标准：取x轴作为基准，x轴正方向与直线1向上方向之间所成的角； ③范围：0°≤α<180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°. (2)作用： ①表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度； ②确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺 一不可. 2.斜率的慨念及斜率公式 (1)定义：倾斜角a(a≠90°)的正切值. (2)记法：k=tana. (3)斜率与倾斜角的对应关系：