第07讲 立体几何-2023年新高考数学新情景、新文化、新定义常考问题分类全归纳（新高考地区专用）

第07讲 立体几何 一、单选题 1．（2022·浙江·苍南中学高三阶段练习）我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍䠢”指底面为矩形.顶部只有一条棱的五面体.如图，五面体是一个“刍䠢”，其中是正三角形， ， ，则该五面体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知,平面,平面, 所以平面,又平面平面,平面, 所以,而平面,平面,故平面, 设中点为G，连接，故,由于, 则四边形为平形四边形，则, 因为，所以, 由已知可得,而是正三角形， 则 ,所以,又,则为等边三角形， 作,垂足为M,则 ,作 ,垂足为H, 则 , 则分别过点作的平行线，交于,连接, 则,又平面, 所以平面,同理平面, 由于是正三角形，平面， 故五面体可分割为直棱柱和两个相同的四棱锥、 , 由于是正三角形，平面,则处于过的中点连线且和底面垂直的平面内， 即五面体的两侧面是全等的梯形，故, 由于, 由于棱柱为直棱柱，可知平面平面, 则四棱锥的高即为的底边上的高，为， 所以该五面体的体积为, 故选:D 2．（2022·山西·忻州一中高三阶段练习）《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，则鳖臑外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知， 如图，将鳖臑补全成长方体， 则鳖臑外接球的半径， 故鳖臑外接球的表面积为. 故选：A. 3．（2022·全国·高三专题练习）公元年，唐代李淳风注《九章》时提到祖暅的开立圆术.祖暅在求球体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”，意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理，我们可以应用此原理将一些复杂几何体转化为常见几何体的组合体来计算体积.如图，将双曲线与直线所围成的平面图形绕双曲线的实轴所在直线旋转一周得到几何体，下列平面图形绕其对称轴（虚线所示）旋转一周所得几何体与的体积相同的是（    ） A．图①，长为､宽为的矩形的两端去掉两个弦长为､半径为的弓形 B．图②，长为､宽为的矩形的两端补上两个弦长为､半径为的弓形 C．图③，长为､宽为的矩形的两端去掉两个底边长为､腰长为的等腰三角形 D．图④，长为､宽为的矩形的两端补上两个底边长为､腰长为的等腰三角形 【答案】B 【解析】由得：， 则当与相交于两点时，内圆半径，则在